2021年北京大安山乡大安山中学高一数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面,给出下列四个命题，正确命题的个数是①若，，，则 ②若，，则③若，，，则 ④若，，则//A．1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：C由题意，已知互不重合的直线和互不重合的平面，在A中，由于，过直线平面都相交的平面，记，则且，所以，又，所以，故A是正确的；在B中，若，则由面面垂直和线面垂直的性质得，所以是正确；在C中，若，则由线面垂直的判定定理得，所以是正确；在D中，若，则或，，所以是不正确的，故选C.2. 已知A（2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）A． B． C．k≤﹣4或 D．以上都不对参考答案：C【考点】恒过定点的直线．【分析】画出图形，由题意得 所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，即 k≥=，或 k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，故选：C．3. 调研考试以后，班长算出了某班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么的值为A. B.1 C. D.2参考答案：B4. 设函数 条件：“”；条件：“为奇函数”，则是的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：B5. 已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1，则m，n的值分别为( )A．2，7 B．0，8C．－1，2 D．0，－8参考答案：B6. 圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ）A． B． C． D．2参考答案：C【考点】弧度制的应用．【专题】数形结合．【分析】等边三角形ABC是半径为 r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=，求出AB的长度（用r表示），就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数．【解答】解：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=，作OM⊥AB，垂足为M，在 rt△AOM中，AO=r，∠AOM=，∴AM=r，AB=r，∴l= r，由弧长公式 l=|α|r，得，α===．故选 C．【点评】本题考查圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用，体现了数形结合的数学思想．7. 已知，符号表示不超过的最大整数，若关于的方程（为常数）有且仅有3个不等的实根，则的取值范围是 A． B. C． D．参考答案：B8. 下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为（ ）34562.544.5A. 4 B. 3.15 C. 4.5 D. 3参考答案：D9. 已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为（ ）A．4 B．0 C．2m D．﹣m+4参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则得到g（﹣x）=﹣g（x），即g（5）+g（﹣5）=0，求出f（5）+f（﹣5）的值．【解答】解：设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则g（﹣x）=﹣ax7+bx5﹣cx3=﹣g（x），∴g（5）=﹣g（﹣5），即g（5）+g（﹣5）=0∴f（5）+f（﹣5）=g（5）+g（﹣5）+4=4，故选A．10. 已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是（ ）A．2 B． C.0 D．参考答案：A建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，则．故令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用数学归纳法证明：时，从“k到k+1”左边需增加的代数式是________________．参考答案：【分析】写出时的表达式，然后写出时的表达式，由此判断出增加的代数式.【详解】当时，左边为，左边的固定，当时，左边为，化简得，故增加的项为.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的概念以及运用，考查观察与思考的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12. 函数f（x）=的定义域是 ．参考答案：{x|x=2kπ，k∈z}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．13. 若x，y满足约束条件则的最大值为_______________.参考答案：12.【分析】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，平行移动直线，在平面区域内找到使得直线在纵轴上的截距最大时所经过的点，求出该点的坐标，代入目标函数中,求出目标函数的最大值.【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，如下图所示；平行移动直线，当平移到点时，直线在纵轴上的截距最大，此时点坐标满足方程组：，目标函数最大值为.【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了求目标函数的最值问题，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键.14. 如图，网格纸上小正方形的边长为，用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长为 . 参考答案：15. 函数的定义域为_____________．参考答案：略16. 已知则实数的取值范围是 。
参考答案：略17. 函数在〔1，3〕上的最大值为 ，最小值为＿参考答案：1，三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （10分）如图，已知两条直线l1:x-3y+12=0,l2:3x+y-4=0，过定点P(-1，2)作一条直线l，分别与l1,l2交于M、N两点，若P点恰好是MN的中点，求直线l的方程.参考答案：参考答案：设所求直线l的方程为：y=k(x+1)+2由交点M的横坐标xM=.由交点N的横坐标xN=∵P为MN的中点，∴.所求直线l的方程为x+2y-3=0.略19. （14分）已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用．分析： （1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解答： （1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣loga（1+x）+loga（1﹣x）=﹣[loga（1+x）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．点评： 本题主要考查函数定义域的求法，以及函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键20. 已知在锐角中，为角所对的边，且.(Ⅰ)求角的值； (Ⅱ)若，则求的取值范围.参考答案：解：（1） 2分 2分，因为在锐角中，所以 2分（2）所以 1分 2分因为 2分所以 略21. 设函数f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12 （1）求a，b的值． （2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值． （3）m为何值时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点． 参考答案：【考点】对数函数的图象与性质；函数的最值及其几何意义． 【专题】计算题；方程思想；分类法；函数的性质及应用． 【分析】（1）由已知可得a﹣b=2，a2﹣b2=12，解得答案； （2）当x∈[1，2]时，4x﹣2x∈[2，12]，结合对数函数的图象和性质，可得答案； （3）若函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点，则4x﹣2x=m有两个解，令t=2x，则t＞0，则t2﹣t=m有两个正解，进而得到答案． 【解答】解：（1）∵f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12， ∴a﹣b=2，a2﹣b2=12， 解得：a=4，b=2； （2）由（1）得：函数f（x）=lg（4x﹣2x）， 当x∈[1，2]时，4x﹣2x∈[2，12]， 故当x=2时，函数f（x）取最大值lg12， （3）若函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点． 则4x﹣2x=m有两个解，令t=2x，则t＞0， 则t2﹣t=m有两个正解； 则， 解得：m∈（﹣，0） 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键． 22. 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论．参考答案：（1）证明：如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90．又 D 是A1B1 的中点，∴ C1D ⊥A1B1 ．∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，∴ AA1 ⊥C1D 。
