专题31 直线、平面垂直的判定及其性质（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 一、直线与平面垂直1．定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．2．直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.3．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行图形语言符号语言⇒作用①证明两直线平行；②构造平行线.4．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角α的范围是.5．常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、平面与平面垂直1．定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：2．平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面垂直图形语言符号语言l⊥α，⇒α⊥β作用判断两平面垂直3．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直⇒线面垂直图形语言符号语言作用证明直线与平面垂直4．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：.5．常用结论（熟记）（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．三、垂直问题的转化关系考向一 线面垂直的判定与性质线面垂直问题的常见类型及解题策略：(1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．(2)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性()；④面面平行的性质()；⑤面面垂直的性质．(3)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(4)线面垂直的探索性问题．①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例1 如图所示，ΔADB和ΔADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC=60°，下列说法中错误的是A．AD⊥平面BDC B．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABD D．BC⊥平面ABD【答案】D【解析】易知AD⊥BD,AD⊥DC,所以AD⊥平面BDC,又与均为以D为直角顶点的等腰直角三角形,所以.又∠BAC＝60°,所以为等边三角形,故BC＝AB＝2BD,所以∠BDC＝90°,即BD⊥DC.所以BD⊥平面ADC,同理DC⊥平面ABD.故选D .1．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为A．线段B．线段C．的中点与的中点连成的线段D．的中点与的中点连成的线段典例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；（2）求证：直线AB1∥平面BC1D；（3）设M为线段BC1上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM?请说明理由．【解析】（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥平面ABC，又∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．（2）如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD，则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥AB1，又OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．（3）在内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E段C1D上，证明如下：如图，过C作CE⊥C1D，交线段C1D于点E，由（1）可知，BD⊥平面ACC1A1，又CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，得CE⊥平面BC1D，∵DM⊂平面BC1D，∴CE⊥DM．2．如图，在正方体中，E为棱的中点，F为棱BC的中点．（1）求证：AE⊥DA1；（2）段AA1上求一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．考向二 面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略：(1)利用定义(直二面角)．(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．典例3 已知在梯形ABCD中，AB//CD，E,F分别为底AB,CD上的点，且EF⊥AB，EF=EB=12FC=2，EA=12FD，沿EF将平面AEFD折起至平面AEFD⊥平面EBCF，如图.（1）求证：平面BCD⊥平面BDF；（2）若AE=2，求多面体ABCDEF的体积．【解析】（1）由平面AEFD⊥平面EBCF，且DF⊥EF知DF⊥平面EBCF．而平面BDF，所以平面BDF⊥平面EBCF.由，可知，即BC⊥BF，又平面EBCF,所以BC⊥平面BDF．又平面BCD，所以平面BCD⊥平面BDF．（2）依题意知，多面体ABCDEF是三棱台ABE-DCF，易得高为EF=2，两个底面面积分别是2和8，故体积为23×2+8+2×8=283．典例4 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AB=BC.（1）证明:BC1//平面A1CD;（2）证明:平面A1EC⊥平面ACC1A1.【解析】（1）连接AC1,交A1C于点O,连接DO,则O是AC1的中点,因为D是AB的中点,所以OD//BC1．因为OD⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1CD．（2）取AC的中点F,连接EO,OF,FB,因为O是AC1的中点,所以OF//AA1且OF=12AA1．显然BE//AA1,且BE=12AA1,所以OF//BE且OF=BE，则四边形BEOF是平行四边形.所以EO//BF,因为AB=BC,所以BF⊥AC.又BF⊥CC1,所以直线BF⊥平面ACC1A1．因为EO//BF,所以直线EO⊥平面ACC1A1.因为EO⊂平面A1EC,所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当三棱锥C﹣PBD的体积等于时，求PA的长．4．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，底面，，点段上，平面平面.（1）请指出点的位置，并给出证明；（2）若，求点到平面的距离.考向三 线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．典例5 正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为A． B．C． D．【答案】B【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知平面ACD，∴，故为直角三角形．设棱长为1，则有，∴.设A到平面的距离为h，则有，∴，∴，∴.设直线AD与平面所成的角为θ，则.解法二：在正三棱柱中，由D为中点可证⊥平面，如图，作，∴.又，∴AH⊥平面，∴∠为所求的线面角．设棱长为2，在中由等面积法得，∴.故选B.典例6 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.（1）证明：平面⊥平面；（2）若直线与平面所成的角为45°，求三棱锥的体积.【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）如图，设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是是直线与平面所成的角.由题设知，所以，在中，，所以，故三。