§3 基本不等式3.1 基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，|AQ|＝a，|BQ|＝b，过点Q作PQ垂直于AB交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案 |PO|＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么|PQ|2＝|AQ|·|QB|，即|PQ|＝.梳理 如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，又称为均值不等式．其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点二 基本不等式及其常见推论≤(a≥0，b≥0)．当a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(×)2.≥.(√)3．若a>0，b>0，则ab≤恒成立．(×)类型一 常见推论的证明例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．引申探究证明不等式2≤(a，b∈R)．证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得2≤，当且仅当a＝b时，取等号．反思与感悟 作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．类型二 用基本不等式证明不等式例2 已知x，y都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 (1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 ∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．类型三 用基本不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )A．x＝ B．x≤C．x＞ D．x≥考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 B解析 第二年的产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，∴1＋x≤＝1＋，∴x≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．反思与感悟 基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是( )A．R0，∴lg ＞lg＝(lg a＋lg b)，即R＞Q.②综合①②，有P>>b B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 C解析 ∵0a＋b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a>.2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2xC.≤1 D．x＋≥2考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 C解析 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立；对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立．故选C.3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )A.> B.2，故>.4．lg 9×lg 11与1的大小关系是( )A．lg 9×lg 11>1 B．lg 9×lg 11＝1C．lg 9×lg 11<1 D．不能确定考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 C解析 ∵lg 9>0，lg 11>0，∴lg 9×lg 11≤2＝2＝2<2＝1，即lg 9×lg 11<1.5．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________．(填序号)考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 ①②③解析 由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；由于a＋≥2，b＋≥2，∴≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a＋b≥2，＋≥2，故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③.1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．一、选择题1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 A解析 ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．2．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C.＋> D.＋≥2考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 D解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立．3．若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.≥ B.＋≥1C.≥2 D.≥1考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 B解析 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，∴＋＝(x＋y)＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．4．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 A解析 因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2，故ab≤4.又因为cd≤，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．5．设f(x)＝ln x,0p D．p＝r>q考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 B解析 因为0.又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上是增加的，所以f >f()，即p考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 D解析 a＋b＋≥2＋≥ 2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，∴≤1，≤.当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．二、填空题7．设正数a使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga .(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 ≤解析 ∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，∴y＝logax是增函数，又≥ ，∴loga≥loga＝logat.8．设a，b为非零实数，给出不等式：①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式是________．考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 ①②解析 由基本不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．9．已知a＞b＞c，则与的大小关系是______。