第三章 热平衡态半导 体中载流子的统计分布电子科技大学微固学院 *计计算本征半导导体(intrinsic semiconductor)和杂质杂质 半导导体(extrinsic semiconductor)的热平衡状态时时 载流子浓度及费米能级位置，讨论载讨论载 流子浓浓度、 费费米能级级与杂质浓杂质浓 度、温度的关系 导带价带T1. 载流子分布 2. 载流子影响因素主要内容n§3.1 热平衡状态n§3.2 状态密度n§3.3 热平衡态时电子在量子态上的分布几率n§3.4 热平衡时非简并半导体的载流子浓度n§3.5 本征半导体的费米能级和载流子浓度n§3.6 非简并杂质半导体的载流子浓度n§3.7 简并半导体(degenerate semiconductor)§3.1 热平衡状态在一定的温度T下，存在：载流子产生过程 ——本征激发 ——杂质激发载流子复合过程 ——电子从导带回到价带或杂质能级上一、热平衡状态EcEv产生复合ED载流子浓度保持稳定 →热平衡状态无外来作用(光、电、磁等)载流子数目决定于：●允许电子存在的量子态按能量如 何分布的？ ——状态密度g(E) =dZ/dE●电子是按什么规律分布在这些允许电子存 在的量子态中？ f(E)二、热平衡时载流子的浓度导带价带导带中单位能量间隔含有的状态数为gc(E) ——导带的状态密度假设：能量为E的每个状态被电子占有的几率为f(E)在能量dE内的状态具有的电子数为： f(E)gc(E)dE那么：整个导带的电子数N为：式中Ec＇为导带顶的能量若晶体的体积为V，那么电子的浓度为：空穴占据能量为E能级的几率为：1－f(E)空穴的浓度p为：式中Ev＇为价带底的能量gv(E)为价带中单位能量间隔含有的状态数 ——价带的状态密度§3.2 状态密度n状态密度(density of state,DOS)¨状态密度是能带中能量E附近单位能量间 隔内的量子态数目¨能带中能量E+dE之间有dZ个量子态，则 状态密度为：n状态密度的计算¨k空间的状态密度——单位k空间体积内的量子 态数¨单位能量间隔dE对应的k空间体积¨单位能量间隔dE对应的量子态数dZ，计算状 态密度g(E)量子态在波矢空间的分布能量E ～ 量子态Z的关系能量E ～ 波矢k的关系xx+L一、理想晶体的k空间的量子态分布1.一维晶体设它由N个原子组成，晶格常数为a，晶 体的长为L，起点在x处aL=a×N 在x和x+L处，电子的波函数分别为φ(x)和φ(x+L)φ(x)=φ(x+L)单位 k 空间允许的状态数为：单位k空间体积内所含的允许状态数等 于L/2 π （L晶体的线度）-4π/L - 2π/L 0 2π/L 4π/Lkkkkk2. 三维晶体设晶体的边长为L，L=N×a ，体积为V=L3K空间中的状态分布kx••••••••• • •• • ••••• ••• ••••• ••••••••••• •••••••••••••••••••kzky小立方的体积为：一个允许电子存在的状 态在k空间所占的体积单位 k 空间允许的状态数为：—k 空间的量子态（状态）密度考虑自旋后，k空间的电子态密度为：二、半导体导带底和价带顶的状态密度1. 极值点 k0=0，E(k)为球形等能面(1) 导带底球所占的k空间的体积为：球形等能面的半径k球内所包含的量子态数 Z(E)：Z(E)= ×微分：代入：将导带底附近单位能量间隔的量子态数— 状态密度为：(2) 价带顶价带顶附近单位能量间隔的量子态数— 状态密度为：2. 实际半导体导带底附近的状态密度为：式中S为导带极小值的个数 Si：S=6，Ge：S=4(1) 导带底(极值点k0≠0)令：称mdn导带底电子的状态密度有效质量(2) 价带顶(极值点k0＝0)令：称mdp为价带顶空穴的状态密度有效质量状态密度与能量E的抛物线关系EEc1Ev2gc(E)gv(E)导带底附近，电子能量越 高，状态密度越大； 价带顶附近，空穴能量越 高，状态密度越大例 计算室温Si导带底到上面k0T范围内的状 态数的体密度。
EEc1Ev2gc(E)gv(E)§3.3 热平衡态时电子在量子态上的分 布几率一、费米分布函数和费米能级1.费米分布函数电子占据能量E能级的几率式中 EF 具有能量量纲，称为费米能级 费米分布函数费米能级定义为：1938年诺贝尔物理学奖 1933年诺贝尔物理学奖 FermiDirac热平衡系统有 统一的费米能级2. f(E) 的特点f(E) 与温度T有关T=0K E＞EF： f(E)=0 E＜EF： f(E)=1半导体EF 位于禁带中T=0K1/2T2>T1f(E)T1T2EFE10费米能级标志电子占据量子态的水平T＞0K E＞EF：f(E)＜1/2 E＜EF：f(E) ＞1/2 E=EF： f(E) =1/2T高 E＞EF： f(E) ↑ E＜EF： f(E) ↓EF 高 E＞EF： f(E) ↑E＜EF： f(E) ↓费米能级越高，说明较 多能量较高的量子态被 电子占据温度升高，说明较多的 电子会被激发到费米能 级以上的量子态f(E) 随能量增大迅速下降，说明越高能量量子态被 电子占据几率小二、玻尔兹曼分布1. 电子的玻尔兹曼分布当E－EF >> k0T 时，玻尔兹曼 分布函数Boltzmann 例如：E－EF=5k0T 时，1/2f(E)EFE10fBE(E)fFD(E)1/2f(E)EFE10fBE(E)fFD(E)价带导带ECEVEg半导体中电子的统计分布满足 Ec – EF ＞＞ k0T本征Si:(EF)本征≈Ei (禁带中心能级)禁带宽度Eg=1.12 eV Ec－EF=Ec－Ei = 0.56 eV在室温时，k0T = 0.026 eV0.56/0.026 = 21.6即没有被电子占有的几率：2. 空穴的分布函数空穴的费 米分布当 EF－E ＞＞ k0T 时，空穴的玻尔 兹曼分布1/2f(E)EFE101-fB (E)1-fF (E)价带导带ECEVEg半导体中空穴的统计分布满足 EF – EV ＞＞ k0T非简并半导体——电子服从玻尔兹曼统计率，载 流子非简并，满足 E – EF ＞＞ k0T (导带) 或 EF – E ＞＞ k0T (价带) 简并半导体 ——电子服从费米统计率，载流子简 并3. 非简并半导体与简并半导体§3.4 热平衡时非简并半导体的载流子 浓度n0和p0一、导带电子浓度n0和价带空穴浓度p01. 电子浓度n0在能量E→E+dE间隔内的电子数dN为：dN=fB(E)gc(E)dEEcEc’EE+dE整个导带的电子数N为：引入：其中∴ 电子浓度no：利用积分公式： 令：—— 导带有效状态密度∴ 可理解为：把导带中所有量子态都集中于导 带底，其状态密度为 Nc，电子浓度则是有电 子占据的量子态电子按Boltzman 占据导带底Ec 的 几率2. 空穴浓度p0价带中的空穴浓度为：其中—— 价带的有效状态密度g(E)EFECEVg(E)f(E)10.5000f(E)n0f(E)gc(E)gv(E)1-f(E)p0ENcNv载流子的统计分布二、影响no 和po 的因素Nc(cm-3) Nv(cm-3) Si 2.8×10191.2×1019 Ge 1.04×1019 6.1×1018 GaAs4.7×1017 7×1018 室温时：1. mdn和mdp的影响—材料的影响2. 温度的影响(1) Nc、Nv ～ TT↑，NC、NV↑ (2) 占据EC、EV的几率与T 有关T↑，几率 ↑ T ↑，n0、p0↑ 3. EF的影响EF→EC，EC-EF↓，no↑ — EF越高，电 子的填充水平越高，对应n0较高；EF→EV，EF-EV↓，po↑ — EF越低，电 子的填充水平越低，对应p0较高。
EF与杂质有关，决定于掺杂的 类型和数量EF EA不同掺杂情况下的费米能级（a）强p型 （b）弱p型 （c）本征情况 （d）弱n型 （e）强n型EvEiEcEFEAEvEiEcEvEFEcEvEiEcEDEFEvEiEc ED EF三、载流子浓度积对于一定的半导体材料，热平衡态时载流子浓 度积仅与温度有关，而与是否掺杂及掺杂浓度 无关 ——热平衡状态判据非简并半导体的载流子浓度no和po电中性条件 §3.5 本征半导体的费米能级和载流子浓度本征半导体本征载流子浓度EF ?电中性条件 一、本征载流子浓度及影响因素1. 本征载流子浓度ni、300 K硅锗砷化镓Eg1.12ev0.67ev1.428evni2. 影响ni的因素(1) mdn、mdp、Eg ——材料(2)T 的影响T↑，lnT↑，1/T↓，ni↑高温时时，在ln ni～ 1/T 坐标下，近似 为一直线1/TlnniGeSiGaAs3. 浓度积nopo与本征载流子浓度ni热平衡判据 举例 (1) 在常温下，已知施主浓度ND，并且全部电 离，求导带电子浓度no和价带空穴浓度po∵ 施主全部电离∴no=NDpo=ni2/no=ni2/ND（2）在常温下，已知受主浓度NA，并且全部电 离，求导带电子浓度no和价带空穴浓度po ∵ 受主全部电离∴po=NAn0=ni2/po=ni2/NA二、本征半导体的费米能级Ei 为禁带的中心能级，将NC、NV代入：Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo室温时，kT = 0.026 eVEF－Ei= - 0.008 eV(Eg)Ge=0.67ev ∴EF≈Ei对Si、GaAs一样，EF≈Ei对某些窄禁带半导体不然，如InSb， Eg=0.17eV，mdp/mdn ≈ 32， EF=Ei+0.068 eV ≠Ei对于多数本征半导体，可以认为本征费米能级位于禁带 中心，而且不随温度变化Ei 又叫本征费米能级EF = Ei 时：故同样非简并半导体：非简并半导体另一组有用的公式●本征半导体载流子浓度随温度变化很大 ，浓度及导电性不能控制在室温附近，Si：T↑8K，ni↑一倍Ge：T↑12K，ni↑一倍本征半导体在应用上限制●纯度达不到要使得本征激发是载流子的主要来源杂质原子/总原子 ＜＜ 本征载流子/总原子Si：原子密度1023/cm3，室温时，ni=1010/cm3本征载流子/总原子=1010/1023=10-13＞ 杂质原子/总原子Si的纯度必须高于99.9999999999999%本征半导体：+ 杂质半导体：n0 p0 EF 电中性条件 ？§3.6 非简并杂质半导体的载流子浓度杂质半导体带电粒子有：电子、空穴、电离的施 主nD+和电离的受主pA-电中性条件：no + pA- = po + nD+导带价带pA-p0n0 nD+电子占据ED的几率空穴占据EA的几率一、杂质能级上的电子和空穴浓度若施主浓度为ND施主能级上的电子浓度nD为：— 未电离的施主浓度电离的施主浓度nD+为：● ED－EF＞＞kTnD→0，nD+→ND，施主杂质几乎全部电离● EF = ED gD=2● EF－ED＞＞kTnD→ND，nD+→0，施主杂质几乎没有电离施主杂质只有1/3电离没有电离的受主浓度pA为：电离的受主浓度pA-为：若受主浓度为NAgA● EF－EA＞＞kT● EA－EF＞＞kTpA→0，pA-→NA，受主杂质几乎全部电离● EF=EA gA=4pA→NA，pA-→0，受主杂质几乎没有电离受主杂质只有1/5电离电中性条件：no + pA- = po + nD+分析不同温度范围，确定费米能级EF导带价带pA-p0n0 nD+二、杂质半导体载流子浓度和费米能级T杂质离化区本征激发区过渡区低温弱电离区中间电离区强电离区载流子由杂 质电离提供杂质部分电离杂质全部电离载流子由杂质电离和本征激发提供载流子主要由本征激发提供1. 低温弱电离区温度很低，kT＜△ED＜＜Eg，本征激发忽略本征激发很小，po=0 可忽略电中性条件no = nD+以只含有ND一种施主杂。