复合泊松分布

复合泊松分布及其性质复合泊松分布及其性质 称随机变量服从参数为的复合泊松分布，如果满足1N iiSX 1．随机变量,是相互独立N12,,,nXXXL2．若具有相同的分布，且分布与相同12,,,nXXXLLX3．服从泊松分布，参数为N0( )() ()()E SE X E NE X222( )() ()()()()()()Var SVar X E NE XVar NVar XE XE X**00( )()( )( )!n nn S nneF xP Nn FxFxn*0( )( )!n n S nefxfxn定理定理 3.1 设为相互独立的随机变量，且为参数为，12,,,nS SSLiSi个体索赔分布为的复合泊松分布，，则( ) iXfx1,2imL服从参数为，且的复合12nSSSSL1mi i1( )( ) im i XX ifxfx 分布背景背景：可看成个保险保单组合，S 则是这 m 个保单组合的总索赔额mmS 也可以看作同一个保单组合在 m 个不同年度内的总索赔额证明证明：设为参数为的复合泊松分布，Si的矩母函数为iSi。

由于为相互独立的随机变量，( )exp[(( ) 1)] iiSiXMtMt12,,,nS SSL因此的矩母函数为：S111111( )()()()( )exp(( ))exp((( ) 1))mi iiiiits ts Smm ts S iimmii iim iiMtE eE eE eMtMtMt设，由矩母函数的定义知，为1( )( ) im i XX iMtMt ( )XMt的矩母函数，因此1( )( ) im i XX iftft ( )exp( (( ) 1))SXMtMt所以为参数为，个体索赔分布为的复合泊松分布S( )Xfx例：例：设服从复合泊松分布，，1S 11110,(1)0.7,(2)0.3XXff也服从复合泊松分布，，2S 222215,(1)0.5,(2)0.2,(3)0.2XXXfff若和相互独立，求的分布1S2S12SSS解解：服从复合泊松分布，，的分布为S10 1525X121015( )( )( )2525XXXfxfkfk1015(1)0.70.50.582525Xf1015(2)0.30.30.302525Xf1015(3)0.20.20.122525Xf定理定理：设总索赔额 S 是一个复合泊松分布，其中个体保单的索赔 额 X 的分布。

假设 X 的取值可以分为 m 种类型：( )Xfx ，其中设 N 表示索赔发生总次数，12,,,mC CCL()iiP XC 分别表示类型索赔发生的次数， 1,,mNNL12,,,mC CCL 下面结论成立：12mNNNNL（1）随机变量相互独立，服从参数为的12,,,mN NNLiNii泊松分布2）设表示当第 类索赔事件发生时的索赔额，即 ( ) iXi，令，则都是相( )|i iXX XC( )( ) 1,1, iii iNSXXimLL1,,mSSL互独立且服从参数为的复合泊松分布，个体索赔额为iSii( ) iX例例 3.13：：设服从复合泊松分布， S10,(1)0.5,Xf(2)0.3,Xf令,求的分布，(3)0.2Xf12(|2),(|2)CX XCX X(1)(2),XX的分布12,S S解解：令，1(2)0.50.30.8pP X2(2)0.2pP X则的分布为(1)(2),XXX( )Xfx(1)( )Xfx(2)( )Xfx10.50.50.8020.30.30.8030.200.20.2设表示第 类索赔事件发生的次数，则是泊松分布，iNiiN。

于是计算得到，()10iiiP xCp110 0.88，因此，是复合泊松分布，，个体索赔分布为210 0.221S8是复合泊松分布，，个体索赔分布为(1)(2)53(1),(2)88XXff2S22)(3)1Xf例例 3.14 设索赔次数 N 服从＝的泊松分布，个体索赔额的分布，计算总索赔额 S 等于 1，2，3，4 时的概率 )0.1 ,Xfxx1,2,3,4x 解：解：设 Ni表示个体索赔额为 i 的索赔事件次数，则 Ni服从参数为的泊松分布，总索赔额，其中，i12341234SNNNN ，利用独立随机变量和的卷积公式得12340.1,0.2,0.3,0.4到下表x1N12N23N34N4( )Sfx00.81870.67030.54880.44930.1353 10.163750000.02705 20.0163750.2681000.05683 30.0010900.329300.0922 40.0000550.053600.35950.1364例例 3.15：设某保险公司承保医疗保险，表示一次医疗费用，X表示看病的次数，服从泊松分布，表示该医NN12NSXXXL疗保险的总费用，设的分布密度为X2( )(1)0250250250Xxfxx试分析加入免赔额后，保险公司的总索赔额的变化。

50d 解解：首先考虑无免赔额情形，此时总索赔额等于总医疗费0d 用 S由的分布密度计算得到X25002250()(1)83.32502503xE Xxdx 2250()18Var X 总索赔额的期望和方差为( )()8333.3E SE X 222 2( )()100( ()())250250100(())3181041666.6Var SE XE XVar X 下面考虑的情形这时将医疗费用分为两类：50d 设表示医疗费用小于等于免赔1(|50),CX X2(|50)CX X1N额的次数，服从参数为的泊松2 150(50)100(1 (1) )36250P X分布表示医疗费用大于免赔额， 服从参数2N的泊松分布设，2 250(50)100(1)64250P X(1) 50|XXX，则总损失额，其中250|XXX12SSS1(1)(1) 11NSXXL2(2)(2) 21NSXXLS1表示医疗费小于等于免赔额的总费用，这部分费用完全由投保人承担S2表示医疗费大于免赔额的总费用由于，因此25050|50(50)|XXXXX22(2)(2) 212150()NNSXXNYYLL其中表示第 i 次看病的索赔额。

从上式可以看出，总费5050| iiiXYX用 S2分为两部分，一部分由投保人承担，另一部分是总索赔额部分，由保险人来承担我们记总索赔额为 S3，则Yi的分 231NSYYL布密度为222502200(1)()(50)250250250250( )50200(50)(1)()250250 2(1)200200Y Yyy fyfyP Xy因此，，可以得到总理赔额的期望和方200( )3E Y 22(200)( )9.4Var Y 差为32200()() ( )64()4266.63E SE NE Y 2 22 32200200()() ()64(())426.6318Var SE NE Y 加入免赔额后，总理赔额比没有免赔额时减少了8333.3-4266.648.8%8333.3事实上，总损失 S 可以分解为：1212243(1)(1)(2)(2) 1112150NNSSNSSSXXXXSNYYLL1 4 4 2 4 4 31 4 4 4 2 4 4 4 3L14 2 431 4 2 4 3其中 S4为投保人承担的医疗费用，S3是由保险人来承担索赔额。

的近似分布的近似分布S1、、 正态近似正态近似定理定理 设个别理赔额分布函数为，， )f x1()uE X2 2()uE X（1）如果是复合泊松分布，参数为，则当时S 的分布趋于标准正态分布 12SuZu （2）如果是复合负二项式分布，参数为，S, r11(),0,1,2,11krkrP Nkkr     L个别理赔额分布函数为，则( )f x122 21Sr uZ r uru 的分布在时趋于标准正态分布r  证明证明：我们将利用来证明（1）和（2） 对于泊松22lim( )tZMte 分布情形，由得到21( ) ( )SuSE SzVar Su22211( )(exp())()exp{}zSSuu ttMtEtM uuu由公式（5）知，因此( )exp[ (( ) 1)]SXMtMt221( )exp{ [() 1]}zXu ttMtM uu 由矩母函数的级数展开式，2 2()()( )()1()2!n tXn XE XE XMtE eE X tttn LL我们可以得到，' 233 32211 1( )exp()26()ZuMttt uL当，，即。

从而，Z 分布在时 22( )tZMte22lim( )tZMte r  趋于标准正态分布对于负二项分布，令2122 21( )() () ( )()()() ()SE SSE N E XZVar SE N Var XVar N E XSr ur uru  再用类似的方法证明 Z 分布在时趋于标准正态分布此处不再r  叙述例：(SOA 2001-11 30) The claims department of an insurance company receives envelopes with claims for insurance coverage at a Poisson rate of l = 50 envelopes per week. For any period of time, the number of envelopes and the numbers of claims in the envelopes are independent. The numbers of claims in the envelopes have the following distribution:Using the normal approximation, calculate the 90th percentile of the number of claims received in 13 weeks.解：解：设表示第 I 个信封中的索赔数。

设表示 13 周内收到iY(13)X的总索赔数 )1 0.22 0.253 0.44 0.152.5iE Y     2()1 0.24 0.259 0.4 16 0.157.2iE Y   ((13))50 13 2.51625E X((13))50 13 7.24680Var X由((13))0.9(1.282)P XZ ＝>(13) 1625(1.282)4680XP因此，(13)1712.7X2、平移、平移 gamma 近似近似设 为 gamma 分布，对任意一点 x0 ，10( ; ,)( )xtG xtedt  定义一个新的分布函数若设和00( , ,,)(; ,)H xxG xx  ( )h x分布为。