第二、三课时事件的关系与运算

第 二、三 课 时一.课题：事件的关系与运算二.教学目的：理解事件的包含，相等，掌握事件的和与积的运算，掌握互不相容事件、对立事件的概念，能较熟练地用符号表示事件之间的关系或运算三.重点：对事件的包含，相等，互不相容事件、对立事件的概念的理解，事件之间的运算难点：熟练地用符号表示事件之间的关系或运算四.教学方法：讲练结合教学法五.教学过程：1.复习复习必然事件、随机事件、不可能事件、样本点、样本空间的概念2.讲授新课对于随机试验而言，它的样本空间 （或 U）可以包含很多随机事件，概率论的任务之一就是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究在掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事件之间和事件之间的关系与运算若没有特殊说明，认为样本空间 （或 U）是给定的，且还定义了 （或 U）中的一些事件，A,B， A （i=1，2，…） ）等，由于随机事件是样本空间的子集，从而i事件的关系与运算和集合的关系与运算完全相类似⑴事件的包含关系定义：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含了 A，或称 A 包含于B，记作 或 B比如 A={球的标号为 6}，这一事件就导致了事件 B={球的标号为偶数}的发生，因为摸到标号为 6 的球意味着偶数的球出现了，所以 .可以给上述含义一个几何解释，设样本空间是一个正方体， A,B 是两个事件，也就是说，它们是 的子集， “ A 发生必然导致 B 发生”意味着属于 A 的样本点在 B 中，由此可见，事件 B的含义与集合论是一致的。

特别地，对任何事件 A A U ， A 又如，设某种动物从出生生活至 20 岁记为 A，从出生到 25 记为 B,则 AB⑵事件的相等设 A,B U,若 A B，同时有 B A，称 A 与 B 相等，记为 A=B，易知相等的两个事件A,B 总是同时发生或同时不发生，在同一样本空间中两个事件想等意味着它们含有相同的样本点⑶并(和)事件与积(交)事件ΩBA定义： 设 A，B U,称事件“A 与 B 中至少有一个发生”为 A 和 B 的和事件或并事件或称为事件 A 与事件 B 的和记作 A实质上 A∪B= “A 或 B 发生” ,, A∪B若 ，则 A∪B =B，A A∪B ，B A∪B例 1 设某种圆柱形产品，若底面直径和高都合格，则该产品合格令 A={直径不合格}，B={高度不合格}，则 A={产品不合格}推广： 设 n 个事件 A ，A ，…，A 称“A ，A ，…，A ”至少有一个发生”这12n12n一事件为 A ，A ，…，A 的并，记作 A ∪A ∪…∪A 或12n12n1ii设 A,B U，称“A 与 B 同时发生”这一事件为 A 和 B 的积事件或交事件。

记作 或 显然 A∩Φ =Φ,A∩U=A,A∩A=A,A∩B A,A∩B BU若 BA，则 A例 2.若 C={直径合格}，D={高度合格}，则 CD={产品合格}推广: 设 n个事件 A ,A ,…, A ，称“A ,A ,,…A 同时发生”这一事件为12n12nA ，A ，…，A 的积事件记作 A ∩A ∩…∩A 或 A A …A 或 12n12n12ni1⑷对立事件定义：若 A+B=U,AB=Φ 称 A 与 B 互为对立事件或称 B 为 A 的逆事件，记作 AA由此说明，在一次试验中 与有且仅有一个发生即不是 发生就是发生显然 A，由此说明 与A互为逆事件U A BUA BUA Φ, =U例 3.设有 100 件产品，其中 5 件产品为次品，从中任取 50 件产品记 A={50 件产品中至少有一件次品}则 A{50 件产品中没有次品}={50 件产品全是正品}由此说明，若事件 A 比较复杂，往往它的对立事件比较简单，因此我们在求复杂事件的概率时，往往可能转化为求它的对立事件的概率⑸互不相容事件（互斥事件）定义：若两个事件 A 与 B 不能同时发生，即 AB，称 A 与 B 为互不相容事件（或互斥事件） 。

注意：任意两个基本事件都是互斥的推广：设 n 个事件 A ，A ，…，A 两两互斥，称 A ，A ，…，A 互斥（互不相容）12n12n若 A，B 为互斥事件，则 A，B 不一定为对立事件但若 A，B 为对立事件，则B 互斥如投掷 1 枚骰子“出现 1 点”和“出现 2 点”是互不相容事件，但不是互斥的，投掷 1 枚硬币出现“正面向上”和“反面向上”既是对立事件又是互不相容事件⑹事件的运算法则交换律 A∪B=B∪A,AB=BA结合律 (A∪B) ∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC) 分配律 (A∪B) ∩C=( A∩C) ∪(B∩C) ( A∩B) ∪C=(A∪C) ∩(B∪C)对偶原则 niniA11nini11例 4 设 A,B,C 为 U 中的随机事件，试用 A,B,C 表示下列事件1） A 与 B 发生而 C 不发生 CAB或2） A 发生，B 与 C 不发生 或3） 恰有一个事件发生 BA4) 恰有两个事件发生 CAB5) 三个事件都发生 ABC6) 至少有一个事件发生 A B C 或 3）4）5）之并7) A,B,C 都不发生 CBA 8) A,B,C 不都发生 9) A,B,C 不多于一个发生 BA或 CA10) A,B,C 不多于两个发生 ABC例 5 试验 E：袋中有三个球编号为 1,2,3，从中任意摸出一球，观察其号码，记A＝{球的号码小于 3}，　B＝{球的号码为奇数}　C＝{球的号码为 3}试问：1）E 的样本空间为什么？2）A 与 B，A 与 C，B 与 C 是否互不相容？3）A 对立事件是什么？4）A 与 B 的和事件，积事件各是什么？解：1）设 e ={摸到球的号码为 i},(i=1,2,3)i则 E 的样本空间为 u={e ,e ,e }；1232）A={ e , e },B={ e , e },C={ e }12 3A 与 B，B 与 C 是相容的，A 与 C 互不相容；3） ={e } (B,C 的对立事件呢？)34）A∪B=U,AB={e } , B.13.小结：对事件的包含，相等，互不相容事件、对立事件的概念。

4.作业：第一次作业 page132 练习 T1，T2 第二次作业 page132 练习 T3，T4。