第 10 讲 对数与对数函数基础梳理 1．对数 (1)对数的概念 如果 a(a>0，a≠1)的 b 次幂等于 N，就是 ab＝N，那么，数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记 作 logaN＝b，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数． (2)常用对数 通常将 log10N 叫做常用对数，记作 lg_N. 自然对数：通常将以无理数 e＝2.718 28 …为底的对数叫做自然对数，记作 ln_N. (3)对数的性质 ①零和负数没有对数；②loga1＝0(a>0，且 a≠1)； ③logaa＝1(a>0，且 a≠1)；④alogaN＝N(a>0，且 a≠1，N>0)．⑤logaam＝m(a＞0，a≠1)． 2．对数的运算性质 如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；MN(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(4)logaM＝(c>0，且 c≠1)．logcMlogca 3．对数函数的图象与性质关于对数的底数和真数 从对数的实质看：如果 ab＝N(a＞0 且 a≠1)，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，即 b＝logaN.它 是知道底数和幂求指数的过程．底数 a 从定义中已知其大于 0 且不等式 1；N 在对数式中叫 真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于 0 的． 对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的定义域应为 {x|x＞0}，对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 0＜a＜1 和 a＞1 进行分类讨论． 双基自测1．函数 y＝的定义域是________．log0.54x2－3x解析 由题意知，log0.5(4x2－3x)≥0＝log0.51， 由于 0＜0.5＜1，所以Error!从而可得函数的定义域为∪.[－14，0) (34，1]答案 ∪[－14，0) (34，1] 2．(2011·泰州市学情调查)若函数 f(x)＝Error! 则 f(log43)＝________. 解析 f(log43)＝4log43＝3. 答案 3 3．(2011·盐城市检测)已知 f(x)＝lg(－x2＋8x－7)在(m，m＋1)上是增函数，则 m 的取值范 围是________． 解析 由－x2＋8x－7＞0，得 x2－8x＋7＜0，解得 1＜x＜7.又由－x2＋8x－7＝－(x2－8x) －7＝－(x－4)2＋9，得 f(x)的增区间为(1,4]，于是有(m，m＋1)⊆(1,4]，所以 1≤m≤3. 答案 [1,3] 4．(2011·盐城市检测)已知 f(x)＝log3x＋2(x∈[1,9])，则函数 y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是 ________． 解析 ∵f(x)＝log3x＋2(x∈[1,9])，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中 x 满足 1≤x≤9 且 1≤x2≤9.∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1. 所以 y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x＋2)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3. 所以当 x＝3 时，ymax＝13. 答案 13 5．函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过一定点是________． 答案 (2,2) 考向一 对数式的化简与求值【例 1】►(1)计算；lg 2＋lg 5－lg 8lg50－lg40(2)设 3a＝4b＝36，求 ＋ 的值．2a1b [审题视点] (1)利用对数的运算法则； (2)将指数转化为对数，利用换底公式即可．解 (1)＝＝＝1.lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40lg 2 × 58lg 5040lg 54lg 54 (2)由 3a＝36,4b＝36 得 a＝log 336，b＝log436.由换底公式得： ＝log363， ＝log364，1a1b∴ ＋ ＝2log363＋log364＝log3636＝1.2a1b(1)利用换底公式及 logamNn＝ logaN(a＞0，a≠1，N＞0)，尽量转化为同底的和、差、nm 积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算． 【训练 1】 计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)． 解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝·(lg 2lg 3＋lg 2lg 9) (lg 3lg 4＋lg 3lg 8)＝·(lg 2lg 3＋lg 22lg 3) (lg 32lg 2＋lg 33lg 2)＝·＝ .3lg 22lg 35lg 36lg 254 考向二 对数函数图象及其应用 【例 2】►已知函数 f(x)＝|log2x|，正实数 m，n 满足 m＜n 且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间 [m2，n]上的最大值为 2，则 m，n 的值分别为________． [审题视点] 画图象求解，由图可先确定 m 与 n 的取值范围．解析 y＝f(x)＝|log2x|的图象如图所示，于是由 0＜m＜n 时，f(m)＝f(n)，得 0＜m＜1＜n，又由 f(m)＝f(n)，得|log2m|＝|log2n|，即－log2m＝log2n，log2(mn)＝0，所以 mn＝1.因为 0＜m2＜m＜1，且 f(x)在(0,1)上单调递减，所以 f(x)在[m2，n]上的最大值为 f(m2)＝|log2m2|＝－2log ＝2，解得 m＝ ，从而 n＝2，故 m＝ ，n＝2.m 21212答案 212数形结合是解函数问题的基本方法之一，将函数部分项加上绝对值，通过分类讨 论或图象法求解往往较为方便． 【训练 2】 (2011·泰州学情调查)已知函数 f(x)＝|lg x|，若 0＜a＜b，且 f(a)＝f(b)，则 a＋2b 的取值范围是________．解析 由题意，知 0＜a＜1＜b，于是由|lg a|＝|lg b|，得－lg a＝lg b，所以 lg ab＝0，ab＝1，所以 a＋2b＝a＋ ，可判断此函数在(0,1)上为减函数，所以 a＋2b＞3.2a 答案 (3，＋∞) 考向三 对数函数的单调性及其应用【例 3】►(2011·南京模拟)已知 f(x)＝loga(a＞0，a≠1)是奇函数．1－mxx－1 (1)求 m 的值； (2)讨论 f(x)的单调性． [审题视点] (1)利用奇函数的定义有 f(－x)＋f(x)＝0，可求 m；(2)可采用导数讨论． 解 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga＝0 对定义域内的任意 x 恒成立，1＋mx－x－11－mxx－11－m2x21－x2∴＝1，1－m2x21－x2∴(m2－1)x2＝0，m＝±1.当 m＝1 时，＝－1，函数无意义，∴m＝－1.1－mxx－1(2)由(1)知 f(x)＝loga，x＋1x－1 ∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，设 t＝g(x)＝＝1＋.x＋1x－12x－1 ①当 a＞1 时，f(t)＝logat 在(0，＋∞)上为增函数， g(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上为减函数， ∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上是减函数； ②当 0＜a＜1 时，f(t)＝logat 在(0，＋∞)上为减函数，g(x)在(－ ∞，－1)与(1，＋∞)上为 减函数，∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上是增函数．研究与对数函数有关的复合函数的单调性时，一种方法是利用导数，这时应注意 正确地进行求导运算，另一种方法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异减”进行判 断，对于含有参数的函数，必须进行分类讨论． 【训练 3】 已知函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)对任意的 x∈[2，＋∞)，恒有|f(x)|≥1 成立， 则 a 的取值范围是________．解析 若 0＜a＞1 则 x∈[2，＋∞)时，f(x)＝logax＞0，所以|f(x)|＝f(x)＝logax 在[2，＋∞)上是 增函数，因此由|f(x)|≥1 对任意 x∈[2，＋∞)恒成立，得 loga2≥1，解得 1＜a≤2. 若 0＜a＜1，则 x∈[2，＋∞)时，f(x)＝logax＜0，所以|f(x)|＝－f(x)＝－logax 在[2，＋∞)上是增 函数，因此由|f(x)|≥1 对任意 x∈[2，＋∞)恒成立，得－loga2≥1，解得 ≤a＜1.12综上，得 1＜a≤2 或 ≤a＜1.12答案 (1,2]∪ [12，1)难点突破 6——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道填空题，考查其 图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨 论． 一、与对数函数有关的求值问题 【示例】 (2011·陕西卷)设 f(x)＝Error!则 f(f(－2))＝________.二、与对数函数有关的解不等式问题 【示例】 (2011·辽宁卷改编)设函数 f(x)＝Error! 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________．。