近期几道斜率和积定值模考试题的背景分析定理：给定椭圆，，是轴上的两个定点，过引不与轴重合的直线交于两点，则为定值.特别地，当为时，.证明：当直线的斜率存在时，设的方程为，设，由消去并整理得，由韦达定理可得，则，所以特别地，当为时，.例1．（2023佛山一模）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且.（1）求椭圆的方程；（2）设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.解析：注意到，其中，代入上式即可得：，代值可得答案.解析：（1）解：依题意，，，所以，，由，可得，即，解得或（舍去），故，，所以椭圆的方程为.（2）解：设直线的方程为，，，联立，消去整理得，所以，，直线的方程为，令，得，同理可得，所以，故为定值.主要结论：1.设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；（1）若，则有，（2）若，则有，2.过椭圆上一点作两条弦，若直线的斜率之积是定值，则直线恒过定点.例2．已知椭圆的离心率为，其左焦点为．（1）求的方程；（2）如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．解析：此题中，利用相切关系，结合上述主要结论2，我们可以判得：过定点，换句话说，若满足题意，则一定有在为直径的圆上，如下图，这个做不到！因此无解.解析：（1）由题意设焦距为，则，由离心率为，所以，则，的方程为．（2）不存在，证明如下：假设存在圆满足题意，当圆过原点时，直线与轴重合，直线的斜率为0，不合题意．依题意不妨设为：，：，，，圆的半径为，则圆心到直线的距离为，即是关于的方程的两异根，此时，再联立直线与椭圆方程得，所以，即，得所以，同理，由，得，由题意，，即，此时，所以，因为，所以方程无解，命题得证．。
