本文格式为Word版，下载可任意编辑群的直积 群的直积（Direct Product of Group） 群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其根本性质 定义1 设G1,G2是群，G?{(a1,a2)|a1?G1,a2?G2)为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算 (a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2)?G 那么G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作G?G1?G2，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product) 当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作G1?G2 定理1 设G?G1?G2是群G1与G2的外直积，那么 （1） G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，??有|G|?|G1||G2|； （2） （3） （4） G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。
G1?G2?G2?G1； 若令A1?{(a1,e2)|a1?G1,e2为G2的单位元}，那么A1是G的子群，且G1?A1；若令A2?{(e1,a2)|a2?G2,e2为的单位元}，那么A2是G的子群，且G2?A2 证明 （1）由卡氏积的性质鲜明 （2）假设G1和G2都是交换群，那么对任意的(a1,a2),(b1,b2)?G,有 (a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2)?(b1a1,b2a2)?(b1,b2)?(a1,a2)，所以G是交换群 反之，假设G是交换群，那么对任意的a1,b1?G1，a2,b2?G2有(a1,a2)?(b1,b2)?(b1,b2)?(a1,a2)，即(a1b1,a2b2)?(b1a1,b2a2) 故a1b1?b1a1，a2b2?b2a2，所以G1，G2都是交换群 （3）构造映射 ?:G1?G2?G2?G1 (a1,a2)?(a2,a1)，?(a1,a2)?G1?G2， 鲜明?是双射，且 ?((a1,a2)(b1,b2))??(a1b1,a2b2)?(a2b2,a1b1)?(a2,a1)(b2,b1)??(a1,a2)??(b1,b2) 因此，?是G1?G2到G2?G1的同构映射，即G1?G2?G2?G1。
（4）构造映射 ?:G1?A1 a1?(a1,e2) 那么易知?是一个同构映射，因此A1是G的子群，同理可证另一个结论 例1 设G1??a?,G2??b?分别是3阶和5阶的循环群，那么G?G1?G2是一个15阶的循环群 证明 首先，由定理1知，G是一个15阶的交换群，设c?(a,b)?G，(e1,e2)是G的单位元，那么c3?(e1,b3),c5?(a2,e2)，所以c3,c5都不等于(e1,e2)，可知ordc?3,5由拉格朗日定理知，ordc=15，即G??c?是15阶循环群 例2 Z2?Z2?G, 这里G??(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)? 证明 对于4阶群Z2?Z2中的任意元(a,b)有(a,b)?(a,b)?(0,0). 故Z2?Z2中没有4阶元素，所以Z2?Z2不是循环群，而4阶群在同构的意义下仅有两个，于是Z2?Z2?G.事实上， Z2?Z2到G的任意一个将零元(0,0)映到(1)的双射都是一个群同构 a和b分别是G1和G2中的有限阶元素，定理2 设G1,G2是群，那么对于(a,b)?G1?G2有ord(a,b)??orda,ordb?. 证明 设orda?m,ordb?n,s??m,n?,那么(a,b)S?(a,b)?(e1,e2)从而(a,b)的阶 ssttt有限，设其为t，那么需证t?s.首先t|s。
又由于(e1,e2)?(a,b)?(a,b).所以 a?e1,b?e2，于是m|t且n|t，从而t是m和n的公倍数，而s是m和n的最小公倍 tt数，因此s|t，从而s?t 例3 试确定Z15?Z5中5阶元素的个数 解 由定理2，即要确定Z15?Z5中得志5?ord(a,b)??orda,ordb?的元素(a,b)的个 数即要求：或者orda?5且ordb?1或5；或者orda?1且ordb?5分别议论如下： （1）orda?ordb?5，此时a可选3,6,9,12，b可选1,2,3,4，从而共有16个5阶的元 （2）orda?5,ord?1,此时a如上，而b为0故共有4个5阶元 （3）orda?1,ordb?5,a?0,b同（1），故也有4个5阶元 于是Z15?Z5共有24个5阶元 定理3 设G1和G2分别是m阶及n阶的循环群，那么G1?G2是循环群的充要条件是 (m,n)?1 证明 设G1?a,G2?b. 假设G1?G2是循环群若(m,n)?t?1，那么由于orda?m,ordb?n而am/t和bnt的阶都是t，因此(amt,e2)和(e1,bnt)是循环群G1?G2中的两个不同的t阶子群，冲突，所以(m,n)?1。
反之，假设(m,n)?1，那么ord(a,b)??m,n??mn?G1G2?G1?G2，所以(a,b)是G1?G2的生成元，因此G1?G2是循环群 定义2 设H和K是群G的正规子群，假设群G得志条件G?HK,且H?K??e?，那么称G是H和K的内直积（internal direct product） 定理4 设H和K是G的子群，那么G是H和K的内直积的充分必要条件是G得志以下两个条件： （1）G中每个元可惟一地表为hk的形式，其中h?H,k?K； （2）H中任意元与K中任意元可交换，即：对任意h?H,k?K，有hk=kh 证明 假设G是H和K的内直积，那么G=HK，所以，G中每个元g都可表为的hk形式，其中h?H,k?K，假设g?hk?hk,h?H,k?K,那么h'h?k'k?1?H?K??e?， ''''?1从而h'?1h?kk'?1?e，因此h?h,k?k，即条件（1）成立 ?1?1''对任意h?H,k?K，考虑g?hkhkg?(hkh?1?G，那么由于K?G，故 )k?Kk?1?K，同理g?H，所以g?H?K，即g=e，于是hk=kh，条件 （2）成立。
反之，若H，K是G的子群，且条件（1）和（2）成立，那么G=HK，又对任意的h1?H,g?hk?G，其中h?H,k?K，那么由条件（2）kh1?h1k，所以 gh1g?1?(hk)h1(hk)?1?(hk)h1(k?1h?1)?hh1kk?1h?1?hh1h?1?H于是H?G同 理可得K?G 对任意的g?H?K，有ge = g = eg而由条件（1），g表示为hk的形式是惟一的，故得g = e，即H?K??e?从而G是H和K的内直积 例4 设G=?diag(A1,A2)A1,A2?GL2(R)?，那么易证G是的GL4(R)子群，令 H??diag(A,E2)A?GL2(R)?K??diag(E2,A)A?GL2(R)? 那么H和K是G的正规子群，鲜明H?K??E4?，且对diag(A1,A2)?G，有diag(A1,A2)?diag(A1,E2)?diag(E2,A2)?HK 由定义知G是H和K的内直积 例5 将S3自然地看作S4的子群，设K??(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)?，那么K是S4的正规子群鲜明S3?K??(1)?。
因此S3?K?S3?HS3?K?24?S4从而S4?S3?K 但是由于S3不是S4的正规子群，因此S4不是S3和K的内直积 关于群的内外直积，我们有如下定理： 定理5 假设群G是正规子群，H和K的内直积，那么H?K?G；反之，假设群那么存在G的正规子群G1和G2，且Gi与Gi同构(i?1,2)，使得G是G1和G2G?G1?G2， 的内直积 证明 假设群G是正规子群H和K的内直积，定义映射 ?:H?K?G(h,k)?hk,?(h,k)?H?K''''' 那么由于G=HK，故?是满射，又由定理4知G中元与表为hk形式时表法惟一，故?是单射，又对任意的(h1,k1),(h2,k2)?H?K，由于H中的元与K中的元可交换，故 ??(h1,k1)?(h2,k2)???(h1h2,k1k2)?(h1h2)(k1k2)?(h1k1)(h2k2)??(h1k1)??(h2k2)所以?是同构映射，从而H?K?G 假设G?G1?G2令G1??(a1,e2a1?G1)?,G2??(e1,a2)a2?G2? ''首先由定理1知G1'，G2'都是G的子群，Gi'与Gi同构。
且对任意的 ''(a1,a2)?G,(a1,a2)?(a1,e2)(e1,a2)?G1?G2，这一表法是惟一的 且对任意的 ''(a1,e2)?G1,(e1,a2)?G2，有(a1,e2)?(e1,a2)?(a1,a2)?(e1,a2)(a1,e2)所以，由定 理4知G是G1'与G2'的内直积 定义3 设G1,G2,?,Gn是有限多个群，构造集合 G??(a1,a2,?,an)ai?Gii?1,2,?,n?， 并在G中定义运算(a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn)?(a1b1,?,anbn)那么G关于上述运算构成群，称为群G1,G2,?,Gn的外直积，记作G?G1?G2???GnGi称为G的直积因子 定义4 设H1,H2,?,Hn是群G的有限多少个正规子群，假设G得志以下两个条件，我们就称G是H1,H2,?,Hn的内直积 (1)G?H1H2?Hn??h1h2?hnhi?Hi?;(2)(H1H2?Hi)?Hi?1?{e},i?1,2,?,n. 注：（2）也可以换成H1H2?Hi?1Hi?1?Hn?Hi?{e},i?1,2,?,n. 对多个群直积的处境，我们也有： 定理6 假设群G是有限多个子群H1,H2,?,Hn的内直积，那么G同构于H1,H2,?,Hn的外直积。
注：从定理5和定理6可以看到，假设把同构的群不加区分的话，外直积与内直积本质上是一致的所以我们将内外直积不加区分，统称为群的直积，也可以将内直积写成 G?G1?G2???Gn另外，直积因子的次序可以任意调换，也可以肆意添加或去掉括号 定理7 设G?H1H2?Hn那么G是子群H1,H2,?,Hn的内直积的充分必要条件是： （1）G中每个元素的表示法唯一； （2）Hi中任意元素与Hj中任意元素可换（i?j） 证明 类似于定理4可证 例6 证明：Z4?Z6?Z5?Z4?Z30 证明 由于Z6?Z5?Z30所以，Z4?Z6?Z5?Z4?Z30同理， Z4?Z6?Z5?Z4?(Z6?Z5)?Z4?(Z5?Z6)?(Z4?Z5)?Z6?Z20?Z6 — 8 —。