02 一元函数积分学

§2 §2 一元元函数函数积积分学分学5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线 7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆的渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线 13 阿基米德螺线 14 双曲螺线主主 目目 录录录录（（1–25 1–25 ））15162 31 曲边梯形的面积4 曲边扇形的面积19 平行截面面积为已知的立体的体积 20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔求其体积 21 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积22 旋转体体积(y =f(x)绕x轴) 23 旋转体体积(x =g(y)绕y轴） 24 旋转体体积（柱壳法） 25 旋转体的侧面积1817求由双纽线 内部的面积元素法元素法1 化整为零2 以直代曲(以常代变)3 积零为整yxoy=f (x)ab..分法越细，越接近精确值1. 曲曲边边边边梯形的面梯形的面积积积积f (i).元素法元素法4 取极限yxoy=f (x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1 化整为零2 以直代曲(以常代变)3 积零为整1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f (i)元素法元素法4 取极限yxoy=f (x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1 化整为零2 以直代曲(以常代变)3 积零为整1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f (i)S =.S.ab–2。

0y x2.44–4解方程组：得交点：(8, 4)， (2,–2)问题：选谁为积分变量？3.xyo3–3得两切线的斜率为故两切线为其交点的横坐标为S =l1l2( )do +dr =( )元素法元素法1 取极角为积分变量，其变化区间为[,]以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：..4. 曲曲边边边边扇形的面扇形的面积积积积dSS3 作定积分.rxa圆上任一点所画出的曲线5. 旋轮线轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，x来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线一圆沿直线无滑动地滚动，5. 旋轮线2a2a0yxax = a (t – sint) y = a (1– cost)t 的几何意义如图示ta当 t 从 0  2，x从 0  2a即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线5. 旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，x=a (t – sint) y=a (1– cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板6. 旋轮线轮线 也叫摆线摆线单摆单摆x=a (t – sint) y=a (1– cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板.单摆单摆6. 旋轮线也叫摆线单摆单摆.6. 旋轮线也叫摆线 x=a (t – sint) y=a (1– cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。

在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线单摆单摆.6. 旋轮线也叫摆线 x=a (t – sint) y=a (1– cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板x=a (t – sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B ， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1– cost)7. 旋轮线轮线 是最速降 线线生活中见过这条曲线吗？x=a (t – sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B ， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1– cost).生活中见过这条曲线吗？7. 旋轮线是最速降线x=a (t – sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B ， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1– cost)生活中见过这条曲线吗？7. 旋轮线是最速降线.x=a (t – sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B ， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1– cost)生活中见过这条曲线吗？滑板的轨道就是这条曲线7. 旋轮线是最速降线.xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。

8. 心形线线 (圆外旋轮线)xyoa来看动点的慢动作一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线8. 心形线 (圆外旋轮线)axyoaa 2a来看动点的慢动作一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线圆外旋轮线)8. 心形线xyo2ar = a (1+cos )0    20  r  2aPr一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线圆外旋轮线)8. 心形线xyoa– a一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线9. 星形线线 (圆内旋轮线)xyoa– a来看动点的慢动作一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线9. 星形线 (圆内旋轮线)xyoa– a一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线来看动点的慢动作.9. 星形线 (圆内旋轮线)xyoa– a0    2或.P.一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线9. 星形线 (圆内旋轮线)0xy一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10. 圆圆的渐渐伸 线线a0xy一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹.a10. 圆的渐伸线再看一遍0xy.a一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10. 圆的渐伸线0xy.a一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10. 圆的渐伸线a0xMttaat(x,y)0xy试由这些关系推出曲线的方程.一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10. 圆的渐伸线1. 曲线关于 y= x 对称2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0分析3. 令 y = t x, 得参数式故在原点，曲线自身相交.11.狄狄卡儿叶叶形线线4.0xyx+y+a = 0曲线关于 y= x 对称曲线有渐近线 x+y+a=0.11.狄狄卡儿叶叶形线0xyPr .. . . . . .. . . . 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为  =. . . . .距离之积为a2的点的轨迹直角系方程12. 双纽纽纽纽线线0xy.所围面积. . .由对称性.12. 例 求求双纽线双纽线0rr =a曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线13. 阿基米德螺线线0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线.13. 阿基米德螺线r =a0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线再看一遍请问：动点的轨迹什么样？.13. 阿基米德螺线r =a0r.13. 阿基米德螺线r =a0rr =a.13. 阿基米德螺线0rr =a.13. 阿基米德螺线r这里 从 0 +8r =a02a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.13. 阿基米德螺线0r8当 从 0 –r =a.13. 阿基米德螺线r0.这里 从 0 +8a. .14. 双曲螺线线r0.当 从 0 –8a.14. 双曲螺线xyo15.2. .S = =1+cos3r =3cos由 3cos =1+cos 得交点的坐标S S2. . .. . . .16.10xy 令 cos2 = 0,由 sin > 0,联立后得交点坐标. . .[S = 2 ].xyo17.1s1s2. . . .. .sS = =1+cos求由双纽线0xy. . . .由对称性.18.a内部的面积。

双纽线化成极坐标令 r = 0,S = 4+.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为 A(x)的立体.aV以下是几个例子以下是几个例子19. 平行截面面积为积为 已知的立体的体积积b半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔求其体积Roxy20.oyRx–RR20..半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔求其体积oyRxxy–RR. . . .y tan 问题：问题： 还有别的方法吗？还有别的方法吗？(x, y),截面积A(x).半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔求其体积20..oyRx–RR方法方法2 2.20. 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔求其体积oyRx–RR方法方法2 2ABCDBCDC. .截面积S(y)(x, y)= 2x= ytan.S(y).20. 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔求其体积hRxoy–R21. 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。

hRxoxA(x)A(x)V =. . . .–Ry21..求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积yxf(x)ab曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转22. 求旋转转体体积积xf(x)abx..111111111.曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转22. 求旋转体体积V =x=g(y)yx 0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴23. 求旋转转体体积积x=g(y)yx 0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴.23. 求旋转体体积x=g(y)yx 0cdy...23. 求旋转体体积.曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴abf (x)yx024. 求旋转转体体积积— 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴xdxxabyx0内表面积.dx.24. 求旋转体体积— 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)byx0a.24. 求旋转体体积— 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)byx0a.24. 求旋转体体积— 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)0y0xbxadx.24. 求旋转体体积— 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)f (x)Yx0bdx0yz.a.曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴24. 求旋转体体积— 柱壳法柱壳法dV=2 x f (x)dxx=g(y)yx 0cdx= g (y)绕 y 轴旋转25. 求旋转转体侧侧面积积 Ax=g(y)yx 0cdx= g (y)绕 y 轴旋转ydA=2 g(y)ds. (ds是曲线的弧微分)..故旋转体侧面积25. 求旋转体侧面积Ads谢谢使用谢谢使用返回首页返回首页.。