第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与比较大小【情境探究】问题1.在日常生活中,我们经常看到下列标志:必备知识生成(1)你知道各图中的标志有何作用吗?其含义是什么?提示:限制高度:装载高度h不得超过3.5 m;最低限速:限制行驶时速v不得低于50 km/h;限制质量:装载总质量M不得超过10 t;时间范围:t7.5,10;最高限速:限制行驶时速v不得高于60 km/h.(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗?提示:h3.5;v50;M10;7.5t10;v60.(3)常见的表示不等关系的关键词有哪些?提示:至少,至多,不少于,最多,不超过等.问题2.(1)对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能?提示:两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即:ab,a=b,ab,反之也成立,用数学语言可描述为:a-b0ab.(3)如果a-b是负数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?提示:如果a-b是负数,则ab,反之也成立,用数学语言可描述为:a-b0a”“b”或“a3.关于ab或ab的含义:不等式ab应读作“_”,其含义是指“或者ab,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若a0_;a-b=0_;a-bba=ba0.故mn.答案:mn(2)x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2),因为mn,所以(m-n)20,又因为m2+mn+n2= 0,所以(m-n)2(m2+mn+n2)0,所以x-y0,所以xy.【类题通法】比较两个数(式)大小中的注意问题(1)比较大小时,要把各种可能的情况都考虑进去,对不确定的因素需进行分类讨论,每一步运算都要准确,每一步推理都要有充分的依据.(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.【定向训练】1.若mn,pq,且(p-m)(p-n)0,(q-m)(q-n)0,则m,n,p,q的大小关系是_.【解析】把p,q看成变量,则mpn,mqn,即得mpqn.答案:mpq0且a1,b0且b1)的大小.【解析】 当ab0时, 1,a-b0,则 1,所以aabbabba;当ba0时,0 1,a-b1,所以aabbabba;当a=b0时, =1,所以aabb=abba,综上可知,aabbabba(当且仅当a=b时取等号).【补偿训练】 1.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.acbC.cbaD.acb【解析】选A.c-b=4-4a+a2=(2-a)20,所以cb,将题中两式作差得2b=2+2a2,即b=1+a2.因为1+a2-a= 0,所以1+a2a,所以b=1+a2a.所以cba.2.若实数a1,比较a+2与 的大小.【解析】a+2- 因为a2+a+1=所以-(a2+a+1)0,即a1时, 0,则有a+2 .当1-a1时, 0,则有a+2 .综上可知,当a1时,a+21时,a+2 .不等关系与比较大小利用不等式表示不等关系比较大小作差法：通常利用配方法化成完全平方式与0比较作商法：适用于同号的式子作商与1比较比较大小常用方法（1）利用不等式时，要注意等号能否取到（2）利用不等式表示不等关系时要注意实际意义数学建模：用不等式(组)表示实际问题，培养数学建模的核心素养逻辑推理：通过等式性质类比推理得不等式的性质，培养逻辑推理的核心素养方法总结核心知识易错提醒核心素养课堂素养达标1.若m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是()A.mnC.mnD.mn【解析】选D.因为n-m=x20,所以nm.2.若ab,则b2+1与3b-a的大小关系是()A.b2+13b-aB.b2+13b-aC.b2+1b,所以a-b0.又(b-1)20,所以(b-1)2+(a-b)0,即b2+13b-a.3.如果0abcde,S= ,则把变量_的值增加1会使S的值增加最大(填入a,b,c,d,e中的某个字母).【解析】显然变量a或c的值增加1会使S的值增加,因为0abcd5时,y1y2;当ny2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.。