圆球表面的展开

圆球表面的展开 圆球表面是曲纹表面，展开时，首先要将表面划分成有限个子曲面，然后，只展开其 中形状不同的那些子曲面，画其展开图 对球表面，划分的方法有两种——经线法和纬线法，目的是尽量减少不同形状子曲面 的数量，并且增多子曲面的对称面数如图 9-2-1（一）是经线法划分，图（二）是纬线法 划分公认的表面展开方法有“作图法” （也称‘图解法’ ） 和计算法两种当前还没有实质意义上的计算法展开 视网友所需，用尚未公开的方法——《老耳计算法展 开》的球表面的经线法计算展开公之于世，供参考1、经线法1） 、划分表面 如图 9-2-1（一） ，在俯视图上， 取等间隔角△𝜔（本例取△𝜔 =30°——12 等分）的绕 h 轴 旋转的铅垂面，将表面划分成 360/△𝜔=12 个子曲面每个 子曲面都以 XY 坐标面为对称面，可在正立坐标面上的𝛼[0°， 90°]范围内，按对称进行展开计算 2） 、取△𝜔 =30°的任意子曲面，如在图 9-2-1a 上的粗实线 线框（圆弧是子曲面投影轮廓） ，它是内接于子曲面的棱面，𝑁𝑁'棱面上的水平棱长，是在间隔角△𝜔上，对应不同位置角𝛼的水平 截面（P）圆的各弦长 MM 。

𝑅𝑀3） 、XzYz 是在第一个子棱面（空间梯形 MMNN）上所建立的 展开坐标系的水平面投影，可以看出： ①、棱的展开坐标𝑌𝑀𝑍= 𝑀𝑀/2 = 𝑅𝑀𝑠𝑖𝑛 △ 𝜔/2 𝑠𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛 △ 𝜔/2②、棱面的展开坐标 Xz 是棱面的中心线 1234 长，Xz=Σ△ 𝑆是相邻二棱的间距，由二棱间距的水平投影计算：△ 𝑆△ 𝑋 与高差 △ ℎ设前一位置角为，式中：△ 𝑆 =△ 𝑋2+△ ℎ2𝛼'△ 𝑋 = 𝑠𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠 △ 𝜔/2 ‒ 𝑠𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼'𝑐𝑜𝑠 △ 𝜔/2；= 𝑠𝑅(𝑐𝑜𝑠𝛼 ‒ 𝑐𝑜𝑠𝛼')𝑐𝑜𝑠 △ 𝜔/2 故得：△ ℎ = 𝑠𝑅(𝑠𝑖𝑛𝛼 ‒ 𝑠𝑖𝑛𝛼')𝑋𝑧 = ∑[𝑠𝑅((𝑐𝑜𝑠𝛼 ‒ 𝑐𝑜𝑠𝛼')𝑐𝑜𝑠 △ 𝜔/2)2+ (𝑠𝑖𝑛𝛼 ‒ 𝑠𝑖𝑛𝛼')2]即是内接棱面两个周边的展开坐标𝑋𝑧与𝑌𝑀𝑍以上展开坐标都是由实长线计算而得，所以，又将此法称为“实长线计算法” 。

2、 列经线法展开计算式 （以球半径 sR=20mm 为例）1、 1)、展开坐标 设划分球面间隔角=30°，位置角 α→X,前一位𝑀𝑍(𝑋𝑀𝑍,𝑌𝑀𝑍)△ 𝜔置角 =Y,𝛼'𝑋𝑀𝑍= ∑[𝑠𝑅((𝑐𝑜𝑠𝛼 ‒ 𝑐𝑜𝑠𝛼')𝑐𝑜𝑠 △ 𝜔/2)2+ (𝑠𝑖𝑛𝛼 ‒ 𝑠𝑖𝑛𝛼')2]),= ∑(20((𝑐𝑜𝑠𝑋 ‒ 𝑐𝑜𝑠𝑌)𝑐𝑜𝑠15)2+ (𝑠𝑖𝑛𝑋 ‒ 𝑠𝑖𝑛𝑌)2= 𝑌𝑀𝑍= 𝑠𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛 △ 𝜔/220𝑐𝑜𝑠𝑋𝑠𝑖𝑛152） 、程序式 PX :?𝛼 →𝑋:20 (((𝑐𝑜𝑠𝑋 ‒ 𝑐𝑜𝑠𝑌)𝑐𝑜𝑠15)2+ (𝑠𝑖𝑛𝑋 ‒ 𝑠𝑖𝑛𝑌)2 𝑀 + :𝑀𝑋𝑀𝑍 △20𝑐𝑜𝑠𝑋𝑠𝑖𝑛15𝑌𝑀𝑍 △𝑋𝛼' →𝑌{45}3 、计算填表 按经线法计算程序式 PX 计算填表 6-1-2 1） 、计算准备：手动输入原始数据：0→M→Y;2) 2） 、计算：启动运算程序，从输入 α=0°起，开始计算。

2-4 绘展开图 按表 6-1-2 绘经线法展开图 ，如图 9-2-1c 表 6-1-2 球面经线法展开坐标（按两个对称面展开）α°015304560759005.2210.4115.5720.6825.7530.795.1854.483.662.591.340。