2024—2025学年湖北省荆门德艺高级中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题(★★★) 1. 从1, 2, 3, 4, 5中有放回地依次取出两个数， 则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是 A． 恰有1个是奇数和全是奇数B． 恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C． 至少有1个是奇数和全是奇数D． 至少有1个是偶数和全是偶数 (★★) 2. 两位男同学和两位女同学随机排成一列， 则两位女同学相邻的概率是 A． B． C． D． (★★★) 3. 如图在平行六面体 中， 底面 是边长为1的正方形， 侧棱 且 ， 则 （ ） A． B． C． D． (★★★) 4. , , 则 的概率是 A． B． C． D． (★★★) 5. 已知正方体 ABCD﹣ A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为1， 若点 P满足 ， 则点 P到直线 AB的距离为（ ） A． B． C． D． (★★★) 6. 已知直线 和直线 ， 以下论述中： （1）当 或 时, 与 相交; （2）当 时, 或 （3） 当且仅当 时, （4）当 时, 正确的个数为（ ） A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 (★★) 7. 曲线 与直线 y＝ k( x－2)＋4有两个交点， 则实数 k的取值范围是（ ） A． B． C． D． (★★★) 8. 在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 、 的中点， 为棱 上的一点， 且 ， 设点 为 的中点， 则点 到平面 的距离为（ ） A． B． C． D． 二、多选题(★★) 9. 在两坐标轴上截距相等， 且与点 的距离为 的直线方程可以是（ ） A． B． C． D． (★★★) 10. 已知圆 ， 直线 ， 则以下命题正确的有（ ） A． 直线恒过定点B． 圆被轴截得的弦长为C． 直线与圆恒相交D． 直线被圆截得最短弦长时， 直线的方程为. (★★★★★) 11. 在正三棱柱 中， ， 点 满足 ， 其中 ， ， 则（ ） A． 当时， 的周长为定值B． 当时， 三棱锥的体积为定值C． 当时， 有且仅有一个点， 使得D． 当时， 有且仅有一个点， 使得平面 三、填空题(★★★) 12. 如图所示， 在一次游戏中， 小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数， 小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字 这5个数字未知， 且 b， d为奇数， 则 的概率为 ____ . 9745 (★★★) 13. 已知直线 ： 及点 ， 点 Q在 l上， 当 的值最大时， 点的坐标为 ______ ， 的最大值为 ______ . (★★★) 14. 已知空间四边形 各边及对角线长都相等， 分别为 的中点， 向量 与 夹角的余弦值 _____ . 四、解答题(★★★) 15. 随着小汽车的普及， “驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一， 若某人报名参加了驾驶证考试， 要顺利地拿到驾驶证， 需要通过四个科目的考试， 其中科目二为场地考试． 在每一次报名中， 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试， 就算顺利通过， 即进入下一科目考试， 若5次都没有通过， 则需要重新报名）， 其中前2次参加科目二考试免费， 若前2次都没有通过， 则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费， 某驾校通过几年的资料统计， 得到如下结论： 男性学员参加科目二考试， 每次通过的概率均为 ， 女性学员参加科目二考试， 每次通过的概率均为 ， 现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试， 若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立， 他们参加科目二考试的原则为： 通过科目二考试或者用完所有机会为止． (1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率； (2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率． (★★★) 16. 已知 ABC的顶点 ， AB边上的中线 CM所在直线方程为 ， AC的边上的高 BH所在直线方程为 ． (1)求顶点 C的坐标； (2)求直线 BC的方程． (★★★) 17. 已知圆 C： ． (1)过点 向圆 C作切线 l， 求切线 l的方程； (2)若 Q为直线 m： 上的动点， 过 Q向圆 C作切线， 切点为 M， 求 的最小值． (★★★) 18. 如图， 三棱锥 中， ， ， ， E为 BC的中点． (1)证明： ； (2)点 F满足 ， 求二面角 的正弦值． (★★★) 19. 如图， 四面体 中， ， E为 的中点． (1)证明： 平面 平面 ； (2)设 ， 点 F在 上， 当 的面积最小时， 求 与平面 所成的角的正弦值． 。
