线段、角计数规律探究安徽李庆社我们在学习线段、角时，经常会遇到数所给图形中线段或角的条数问题，怎样才能不車、 不漏而又准确地数出它们的条数呢？举例说明如下一、探索直线条数例1过平面内的8个点,最多可画儿条直线？过平面内的n个点,最多可画儿条直线？ （注：任何三点都不共线）分析 要判断平血内的8个点鼓多可画几条直线，我们可先探索平血内的n个点最多可 画几条直线，从简单的问题开始探究.⑴当n=2时，⑵当n=3时，（3）当 n=4 时,⑷当n=5时,有1条直线（如图1）；最多有3=2+1条直线（如图2）； 最多有6=3+2+1条直线（如图3）； 最多有10=4+3+2+1条直线（如图4）；⑷当n=8时，最多有1+2+3+4+5+6+7=28条直线.山此可见，平而内有n个点时，最多可画 出巴匸U条直线.2结论1、当平面内各点中无三点在同一条直线上时，所确定的直线是最多的，又因为 “两点确定一条直线”，所以这与前血每两点确定一条线段的规律是一样的，因而平血内n个点最多能确定心—1）条直线22、只要平面中的真线无三线共点，则构成的交点数暈应该是最多的，故Itl两线确定一点可知，平而内n条直线相交最多能确定也二22个交点。
2二、数线段的条数例2如图所示，段AB上取一点C时，共有几条线段？段AB上取两个点C、 D时，共有几条线段？段AB上取三个点C、D、E时，共有几条线段？段AB上人 J HACP .BCpE BA] A?•取n个点时，共有线段多少条？解析：数线段的条数，要做到不重、不漏，--般可以从 左边第一个点数起，使第一个点和其右边的每个点各组合一次 如图1,段AB上取一点C吋，线段总条数S 1=2+1=3条）； 段AB取两个点C、D时，线段总条数S尸3+2+1=6条）； 段AB取三个点C、D、E时，线段总条数S3=4+3+2+l二10（条）；由此可知，段AB上取n个点时,线段总条数sn=（* +卄+2+】，根据高斯算法可得sj+iy+D你，即为 结论：对于在一条直线上不重合的n个点所构成的线段有如+ 1）条2三、数射线的条数例3如图所示，在直线AB上取一点C吋，共有•儿条射线？在直线AB上取两个点C、 D吋，共有儿条射线？在直线AB上取三个点C、D、E吋，共有儿条射线？在直线AB上 取n个点时，共有多少条射线？解析：因为端点不同的射线一定不是同一条射线，所以数 B射线时要以端点分类来数直线上一点把直线分成两条射线， A C D B如图2,在直线AB取一点C时，以C点为端点的射线有 A p • E BCA、CB,共2条；在宜线AB 取两个点C、D时，以C点 * A .A A】A A B为端点的射线有CA、CB（或CD）,以D点为端点的射线有 • 團2DC （或DA）、DB,共2+2=4条；在宜线AB上取三个点C、D、E时，以C点为端点的射线有CA、CD（或CE或CB）,以D点为端点的射线有DC （或 DA）、DE （或DB）,以E点为端点的射线有ED （或EC或EA）、EB,共2+2+2=6条；山此可知，如果在直线上取n个点，应分有射线2 + 2 + 2 + ・・・ + 2=2n条。
n个结论：对于在一条直线上不重合的n个点所构成的射线有2n条这样对丁•任意多个点分线段或直线所构成的线段或射线条数，它们都是有一定的规律可 循的，我们掌握这个规律Z肩，就可以很轻松地求出它们的条数了四、角的个数例4如右图，从同一端点OLLi发的n条射线（最大夹角小于平 角），一共对以组成多少个角？解析：因为每两条从同一点出发的射线就可以组成一个角，故本 题同样符合线段条数的计数规律，一共可以组成"S-1）个你2结论 从同一端点0出发的n条射线（最大夹角小于平角），一 共可以组成心一1）个角2五、三角形的个数BCD E F G例5请数一数右图有多少个三介形？解析：因为所有的三角形都含有顶点A,所以只需余下的 两个顶点不同即可，以上问题便转化为：段BG有多少 条不同的线段由线段条数的计数规律可知BG上共有15条 不同的线段，凶而图中共有15个不同的三角形当然，也可以像前而第3题一样通过数以A为顶点的 角的个数来确定所组成的三角形个数）结论 从直线外一点，与直线上n个点连线所成的三角形的个数巴1二12个.2六、探索平面个数例6 —条直线把平面分成儿部分？ 2条呢？ 3条呢？……n条呢？解析：要求出1条、2条、3条直线把平血分成部分可以画图得到，对于n条直线无法 画图说明，所以需要探索其中的规律. ⑴当平而上有1条直线时，如图1,⑵当平而上有2条直线时，如图2,⑶当平面上有3条直线时，如图3,（4）当平面上有4条直线时,如图4,可把平而分成2=1 + 1部分.可把平面分成4=1 + 1+2部分.可把平面分成7=1+ 1+2+3部分.可把平面分成11 = 1 + 1+2+344部分.从上而的探索可以发现规律，平而内有n条直线吋，可把平而分成1 + 1+2+3+4+5+ +21 +也巴多部分.2结论平ifli内有n条直线时,可把平面分成W+2+3+4+5+……+心+冒多部分.通信地址：女徽岳西县城关中学 李庆社（246600）联系：13955622882邮箱：lqs_ lqs@126. com 或 1 qs_lqs@163. com： 530158005笔名李师、理师、明师、皖师、岳师、师院）农行卡号：6228 4823 0004 0594 519。