苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系a bclmn§3 直线与平面的位置关系苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 直线a与平面的位置关系：有无数公共点 有一个公共点 没有公共点a在内 a与相交 a与平行a a∩＝A a∥aaA aa苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 求证：如果平面外一条直线和这个平面内的 一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行． 已知：a∥b，a，b． 求证：a∥．证明：假设a与不平行． 又a，所以设a∩＝P． 因为a∥b，故a，b可确定一个平面． 又b，所以∩＝b． 又P∈，所以P∈b． 即a∩b＝P，与a∥b矛盾．aPb因为P∈a，所以P∈，苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行．* 线线平行 线面平行aba∥b a b a∥苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 例1．求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．已知：在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．AB CDEF苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 练习练习 ．如图图，P为为平行四边边形ABCD所在的平面外一点．M，N 分别是PD，PC的中点．试判断MN与四棱锥P－ABCD各面的位置关系．PADCBMNM，O 分别是PD，AC的中点．判断MO与平面PAB的关系．MONL苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 练习－填空1．过直线外一点与已知直线平行的直线有________条．2．过直线外一点与已知直线平行的平面有________个．3．过平面外一点与已知平面平行的直线有________条．4．过平面外一点与已知平面平行的平面有________个．1无数无数1苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系a’练习．5．过两条异面直线中的一条有______个平面与另一条直线平行．1abM苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 练习．6．P 为△ABC所在平面外一点，M、N分别是PC、AC上的点，过MN作平面平行于BC，并画出此平面与其他各面的交线．SABCPMNR苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 练习－判断．7．若直线a∥b，则a平行于经过b的任何平面．8．若直线和平面满足a∥，b∥，则 a∥b．9．若直线a∥，那么在内可以找到无数组直线与a 平行． 10．若直线a∥，那么a与内任意一条直线都平行．FFTF苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．已知：a∥，a，∩＝l．求证：a∥l．* 线面平行 线线平行al a∥a ∩＝l a∥l苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系例．如图，∩＝CD，∩＝EF，∩＝AB，AB∥．求证：CD∥EF．ABCDEF苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系_________→ ←_________证明两直线平行：①平行公理；②平面内两直线无公共点；③线面平行性质定理．线线平行 线面平行判定定理 性质定理苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 例．如图，点P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与面PAD交于EF，则四边形BCFE为( )A．空间四边形B．平行四边形C．梯形CCBADEFP苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 例．在空间四边形ABCD中，AC＝BD＝a，与直线AC，BD都平行的平面分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H．①求证：四边形EFGH为平行四边形；②求四边形EFGH的周长．AB CDEFGH苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系思考．求证：若一直线与两相交平面都平行，则这条直线与两平面的交线平行 ．al苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系判断：1．a∥b，b∥c，则a∥c．2．a⊥b，b⊥c，则a∥c．3．a⊥b，b∥c，则a⊥c．TFT苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 直线与平面垂直：如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直．记作：a⊥．a —— 平面的垂线； —— 直线a的垂面；P —— 垂足．a⊥，l⊂ a⊥l．Pal苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 过一点有 条直线与已知直线垂直；过一点有 条直线与已知平面垂直；过一点有 个平面与已知直线垂直．且只有一且只有一无数苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 直线与平面垂直的判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．l⊥al⊥b a⊂b⊂ a∩b＝A l⊥* 线线垂直 线面垂直苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 直线与平面垂直的判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．已知：a∥b，a⊥．求证：b⊥． 求证：a∥b a⊥ b⊥abmnP苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 练习． 1．如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面_____；直线BD⊥平面_____；直线CD⊥平面_____．ABCD苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．已知：a⊥，b⊥．求证：a∥b．* 线面垂直 线线平行 a⊥ b⊥ a∥babb’O苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 从平面外一点A引这个平面的垂线，垂足P——点A在这个平面内的射影；点A与垂足P间的线段——点A到这个平面的垂线段；垂线段AP的长度——点A到这个平面的距离 .PaA苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系一条直线与一个平面平行，直线上各点到 平面的距离相等．——直线和平面的距离．* 线面距 点面距苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 直线到平面的距离 ：①平行于平面的直线和平面间的距离处处相 等；②直线上有两点到平面的距离相等，若此两点在平面同侧，则直线与平面平行；若此两点在平面异侧，则直线和平面相交，且交点是连结此两点的线段的中点；③如果一个平面经过一条线段的中点，那么线段的两个端点到平面的距离相等．苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系A’RlQP一条直线和一个平面相交但是不垂直，称这条直 线为这个平面的斜线； 斜线和平面的交点叫 做斜足； 从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线段叫做点到平面的斜线段；过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影；垂足和斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段在这个平面内的射影．A苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系O例．已知P 为正方形ABCD所在平面外一点，且PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝a．求点P 到直线 AC 的距离．ADCBPaa苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系A’RlQP A平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条斜线与这个平面所成的角．特别的，直线与平面垂直，它们所成的角为 直角；直线在平面内，它们所成角为0°． 直线与平面所成角：｛｜0°≤≤90°｝｛｜0°＜＜90°｝苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 例．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：①A1D与平面ABCD所成的角；②A1C与平面ABCD所成角的正弦．③A1B与平面A1B1CD所成的角的余弦 ．AA1BB1CC1DD1苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 例．如图，已知Rt∠BAC在平面内，P，且∠PAB＝∠PAC＝60°．求PA与平面所成角的余弦值．A CBPO FE苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 例．如图，两个全等的正方形ABCD，ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC， N∈BF．若AM＝FN．求证：MN∥面BCE． ABCDEFMNPQK苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步1.2 1.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系 例．设P为正方形ABCD所在平面外的一点，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB。