高考复习大题讲义】共50讲第14讲 直线参数t的几何意义对于直线的标准参数方程,核心在于理解参数的几何意义.我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积、商等问题,通常通过方程联立,凑出韦达定理来求解.过定点,倾斜角为的直线的参数方程为(其中为参数),其中的几何意义为:是直:线上任一点到的距离,设是直线上任意两点,对应的参数分别为,则有以下结论.(1)线段相关问题线段积:线段商:线段差:线段和:(2)线段的中点对应的参数.(3)若线段的中点为,则且.注意:求解时需先判断的正负,再求值,如果点相对于点在直线向上的方向,则为正,否则为负.线段和【例1】在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求直线与曲线的直角坐标方程.(2)若直线与轴的交点为点,直线与曲线的交点为点,求的值.【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的倾斜角.(2)设点,直线和曲线交于两点,求.线段差【例1】 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线和曲线的直角坐标方程.(2)设点,直线与曲线的交点为点和点,求.【例2】在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的直角坐标方程.(2)已知点,若直线与曲线交于两点,求||的值.线段积【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(1)求曲线和直线的直角坐标方程.(2)已知点,若和的交点为,求。
例2】c的参数方程为（其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的直角坐标方程.(2)直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,证明:为定值.线段商【例1】在直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中为参数,为直线的倾斜角),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程.(2)若点的坐标为,直线与曲线相交于两点,且,求直线的直角坐标方程.线段综合【例1】在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,曲线变为曲线.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,为极角,直线的极坐标方程为,其中为参数,且.(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程.(2)设直线与轴交于点,与曲线交于两点,求的取值范围.【例2】 已知曲线的参数方程为(其中为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线和曲线的直角坐标方程.(2)过点的直线与交于两点,与交于两点,求的取值范围.【例3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线和曲线的直角坐标方程.(2)直线与曲线交于两点,设点的坐标为,求的值.第14讲 直线参数t的几何意义对于直线的标准参数方程,核心在于理解参数的几何意义.我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积、商等问题,通常通过方程联立,凑出韦达定理来求解.过定点,倾斜角为的直线的参数方程为(其中为参数),其中的几何意义为:是直:线上任一点到的距离,设是直线上任意两点,对应的参数分别为,则有以下结论.(1)线段相关问题线段积:线段商:线段差:线段和:(2)线段的中点对应的参数.(3)若线段的中点为,则且.注意:求解时需先判断的正负,再求值,如果点相对于点在直线向上的方向,则为正,否则为负.线段和【例1】在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求直线与曲线的直角坐标方程.(2)若直线与轴的交点为点,直线与曲线的交点为点,求的值.【解析】((1)由直线的参数方程(其中为参数),得直线的直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为,整理得,将代入上式得.曲线的直角坐标方程为.(2)将代入得即.设对应的参数分别为,则...【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的倾斜角.(2)设点,直线和曲线交于两点,求.【解析】(1)根据已知,消去参数,整理得,即曲线的直角坐标方程为.根据,得.将代入上式并化简得.直线的倾斜角为.(2)由(1)题知,点在直线上,设直线的参数方程为(其中为参数)，将上述参数方程代入,化简得线段差【例1】 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线和曲线的直角坐标方程.(2)设点,直线与曲线的交点为点和点,求.【解析】 (1)由得直线的直角坐标方程为.由,整理得.化简上式得,由线的直角坐标方程为.(2)由(1)题知直线过点,斜率为倾斜角.中为参数),将代入,化简得.设两点的参数分别为,则【例2】在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的直角坐标方程.(2)已知点,若直线与曲线交于两点,求||的值.【解析】 曲线 C的参数方程为，两式相减得,即曲线的直角坐标方程为.直线的极坐标方程为,整理得,转换为直角坐标方程为.(2)直线过点,直线的参数方程为(其中为参数),根据直线的参数方程,令点对应的参数分别为,则,线段积【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(1)求曲线和直线的直角坐标方程.(2)已知点,若和的交点为,求。
解析】 (1)由已知整理得由线的参数方程为(其中为参数),平方后相加得.曲线的直角坐标方程为,直线的极坐标方程为,整理得.将代入即可得到直线的直角坐标方程:.(2)点在直线上,直线的斜率为,倾斜角,中为参数),将上式代入曲的直角坐标方程得 设点对应的参数分别为和,由韦达定理得,.【例2】c的参数方程为（其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的直角坐标方程.(2)直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,证明:为定值.(1)【解析】 由题意得,曲线的直角坐标方程为.整理直线的极坐标方程得,故直线的直角坐标方程为.(2)证眀 显然,点的坐标为,不妨设过点的直线方程为（其中为参数,为倾斜角）,将参数方程代入曲线的直角坐标方程得为定值.线段商【例1】在直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中为参数,为直线的倾斜角),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程.(2)若点的坐标为,直线与曲线相交于两点,且,求直线的直角坐标方程.【解析】 (1)已知,曲线的极坐标方程:,即，得,即曲线的直角坐标方程为.(2)将代入曲线的直角坐标方程得化简得.设两点对应的参数分别为,则,由得,,整理得.解得或1,经检验此时(1)对应的,直线的方程为或.线段综合【例1】在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,曲线变为曲线.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,为极角,直线的极坐标方程为,其中为参数,且.(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程.(2)设直线与轴交于点,与曲线交于两点,求的取值范围.【解析】 (1)将代入1,化简整理得,即,曲线的直角坐标方程是角为,且经过点.故直线的参数方程为(其中为参数).(2)将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程,整理得,设两点对应的参数分别为,则,【例2】 已知曲线的参数方程为(其中为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线和曲线的直角坐标方程.(2)过点的直线与交于两点,与交于两点,求的取值范围.【解析】 (1)根据题中已知化简整理得,曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.(2)设直线的参数方程为(其中为参数).直线与曲线存在两个交点,.联立直线与曲线得,则.联立直线与曲线得,则.即.的取值范围是【例3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线和曲线的直角坐标方程.(2)直线与曲线交于两点,设点的坐标为,求的值.【解析】 (1)根据题中已知整理得曲线的直角坐标方程:,直线直角坐标方程:.(2)设的参数方程:(其中为参数),将的参数方程代入曲线的直角坐标方程:,整理得第 21 页 共 21 页。