运用数学思想解“三者同笼”问题 李卓 李秋明 蒋丽晶 胡凡[摘 要]小学数学解题常常会涉及数学思想，要重视数学思想在解题中的渗透和运用，让学生在解题过程中体会数学思想以鸡兔同笼问题基础上衍生出的“三者同笼”问题为例，从数学思想的角度，探讨了“三者同笼”问题的解法[关键词]数学思想 “三者同笼”问题[] G623.5 [] A [] 1007-9068（2016）17-053鸡兔同笼问题，是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中鸡兔同笼问题是两者同笼问题，在此基础上还衍生出了“三者同笼”问题下面以小学数学练习册中的蜘蛛、蜻蜓、蝉三者同笼的问题为例，研究“三者同笼”问题的解法题目】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共有18只，有118条腿和18对翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蝉各有几只？一、标准答案首先，蜻蜓和蝉都是6条腿，计算腿的数量时将它们作为一个整体考虑假设全是6条腿的小虫，则可知蜘蛛有（118-618）（8-6）=5（只），那么蜻蜓和蝉共有18-5=13（只）再假设这13只都是蝉，则可知蜻蜓的数量为（18-113）（2-1）=5（只），蝉有13-5=8（只）。
评注：总的来说，标准答案将蜘蛛、蜻蜓、蝉三者同笼的问题化归成了两者同笼的问题具体地说，首先将蜻蜓和蝉看作一个整体，此时题目就化归为蜘蛛与蜻蜓和蝉组成整体的两者同笼的问题求出蜻蜓和蝉的总数后，此时题目又化归成了蜻蜓和蝉两者同笼的问题对于小学生来讲，蜻蜓和蝉怎么看作一个整体呢？看作一个整体后题目到底化归成了什么呢？也就是说标准答案对这些分析还不够具体，因此，从数学思想的角度对这一问题的解法进一步分析，以便小学生理解二、运用数学思想解决“三者同笼”问题分析1：“三者同笼”问题是在两者同笼问题，即鸡兔同笼问题基础上衍生出来的，因此我们要想办法把三者同笼的问题化归为两者同笼的问题，即学生熟悉的鸡兔同笼问题怎样化归呢？根据已知条件，蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，蜻蜓和蝉都有6条腿，因此忽略翅膀的情况下，可以运用数学抽象的思想将蜻蜓和蝉看作一种动物（见图1），不妨将这种动物命名为“蜻蝉”此时题目就化归成了变式1（见图2）变式1：蜘蛛有8条腿，蜻蝉有6条腿和2对翅膀，蜻蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共有18只，有118条腿和18对翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蝉各有几只？分析2：变式1是一个不太标准的鸡兔同笼问题，因为变式1涉及了蜘蛛、蜻蝉的头、腿、翅膀，而标准的鸡兔同笼问题只涉及了头和腿，因此，需要的运用简化的思想忽略翅膀，将这个不太标准的鸡兔同笼问题化归为标准的鸡兔同笼问题，即删除有关翅膀的已知条件，此时变式1便化归成了变式2（见图3）。
变式2：蜘蛛有8条腿，蜻蝉有6条腿，现在这两种小虫共有18只，共有118条腿，蜘蛛、蜻蝉各有几只？分析3：变式2是一个标准的鸡兔同笼问题，古今中外许多人都对它的解法作过研究，可以说它的解法已经有一箩筐了这里仅列举列方程的解法解：设有x只蜘蛛，那么就有（18-x）只蜻蝉蜘蛛和蜻蝉共有118条腿，则8x+6（18-x）=118x=518-5=13（只）蜘蛛有5只，蜻蝉有13只将这一结果代入例1，同时运用简化的思想，即删除有关蜘蛛和腿的已知条件，此时例1就化归成了变式3（见图4）变式3：蜻蜓有2对翅膀，蝉有1对翅膀，现在这两种小虫共有13只，有18对翅膀，蜻蜓、蝉各有几只？分析4：与变式2一样，变式3也是一个标准的鸡兔同笼问题，可以运用列方程等解法解：设有y只蜻蜓，那么就有（13-y）只蝉蜻蜓和蝉共有18对翅膀，则2y+（13-y）=18y=513-5=8（只）蜻蜓有5只，蝉有8只评注：这种解法从数学思想的角度对例1的解法进行了具体分析首先，运用数学抽象的思想将例1化归为变式1；其次，运用简化的思想将变式1化归为变式2；最后，运用简化的思想将例1化归为变式3（这一过程见图5）三、解题感悟以上两种解法本质上是一样的，都是将三者同笼的问题化归为两者同笼的问题。
但是，第二种解法与标准答案的解法相比运用数学思想更为明显，学生可以更好地感受数学思想使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标，数学课程固然应该教会学生许多必要的数学知识，但更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想因此让学生感受第二种解法中的数学思想也是新课程理念的要求此外，利用数学思想将三者同笼问题化归为两者同笼的问题这一过程中，运用的抽象、简化的数学思想都是比较简单的，也是学生非常容易理解的四、结语数学思想是关于数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法进一步的抽象和概括教师要重视数学思想在解题中的渗透和运用，让学生在解题过程中体会数学思想责编 童 夏） -全文完-。