目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数应用导数应用习题课一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理 一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 泰勒中值定理 柯西中值定理 目录 上页 下页 返回 结束 2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论 目录 上页 下页 返回 结束 3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯柯西中值定理西中值定理 .必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公泰勒公式式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设函数在内可导, 且证明在内有界. 证证: 取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理, 得(定数)可见对任意即得所证 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设在内可导, 且证明至少存在一点使上连续, 在证证: 问题转化为证设辅助函数显然在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至使即有少存在一点 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.且试证存在证证: 欲证因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入② , 化简得故有①②即要证 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设实数满足下述等式证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .证证: 令则可设且由罗尔定理知存在一点使即 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设函数 f (x) 在[ 0, 3 ]上连续, 在( 0, 3 )内可导, 且 分析: 所给条件可写为(2003考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使证证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[ 0, 2 ]上连续, 且在[ 0, 2 ]上有最大值 M 与最小值 m, 故由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设函数在上二阶可导,且证明证证:由泰勒公式得两式相减得 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数应用导数应用1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 解决最值问题• 目标函数的建立与简化• 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.4. 补充定理 (见下页) 目录 上页 下页 返回 结束 设函数在上具有n 阶导数,且则当时证证: 令则利用在处的 n －1 阶泰勒公式得因此时定理定理. 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数例例7. 填空题填空题(1) 设函数其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示提示:的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; 目录 上页 下页 返回 结束 .在区间 上是凸弧 ;拐点为 提示提示:的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数的图形如图所示, 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 证明在上单调增加.证证:令在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理,故当 x > 0 时,从而在上单调增.得 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设在上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证证: 设则故在上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因因此也至多只有一个零点 .思考思考: 若题中改为其他不变时, 如何设辅助函数? 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求数列的最大项 .证证: 设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大值点因此在 处也取最大值 .又因中的最大项 .极大值列表判别: 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 证明证证: 设, 则故时, 单调增加 , 从而即思考思考: 证明时, 如何设辅助函数更好 ?提示提示: 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 设在上存在 , 且单调递减 , 有证证: 设则所以当令得即所证不等式成立 . 证明对一切 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 证证: 只要证利用一阶泰勒公式, 得故原不等式成立. 目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 证明当 x > 0 时,证证: 令则法法1. 由在处的二阶泰勒公式 ,得故所证不等式成立 .与 1 之间) 目录 上页 下页 返回 结束 法法2. 列表判别.即 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 求解法解法1 利用中值定理求极限原式 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用泰勒公式令则原式 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3 利用洛必达法则原式 目录 上页 下页 返回 结束 P182 5 ; *7 ; *8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 ; 20作业作业 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 设函数上具有二阶导数，且满足证明序列发散. 证：证：故序列发散. (2007 考研） 目录 上页 下页 返回 结束 保号性保号性 定理定理2. 设在区间上连续 , 且试证存在使证证: 不妨设必有使故保号性保号性 定理定理必有使故又在上连续, 由零点定理知, 存在使 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知函数内可导, 且证证: (1) 令故存在使 即(2005 考研） 目录 上页 下页 返回 结束 内可导, 且(2) 根据拉格朗日中值定理, 存在使3. 已知函数 目录 上页 下页 返回 结束 阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足4. 设函数证证:据泰勒定理, 存在使 由此得即有(2007 考研）情形情形1.则有内具有二 目录 上页 下页 返回 结束 阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足情形情形2.因此据零点定理, 存在即有则有4. 设函数应用罗尔定理得内具有二 。