2.2函数的单调性与最值第二章2022内容索引010203必备知识 预案自诊关键能力 学案突破案例探究(二)双变量“存在性或任意性”问题必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)增函数减函数图像描述自左向右看图像是自左向右看图像是(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作函数y=f(x)的单调区间.上升的下降的增函数减函数区间D2.函数的最值前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件 (1)对于任意xI,都有;(2)存在x0I,使得(3)对于任意xI,都有;(4)存在x0I,使得结论 M为最大值M为最小值f(x)Mf(x0)=Mf(x)Mf(x0)=M常用结论1.函数单调性的常用结论:f(x)在区间D上是增函数f(x)在区间D上是减函数定义法x1x2f(x1)f(x2)x1f(x2)图像法从左到右函数图像上升从左到右函数图像下降导数法导数大于零导数小于零运算法增加的+增加的减少的+减少的复合函数法 内外层单调性相同内外层单调性相反常用结论【考点自诊】 2.(2020广东潮州检测)下列函数在区间(0,1)上为增加的是()A.y=-x3+1B.y=cosx答案D3.(2020广东佛山一中月考)已知a0且a1,函数在R上递增,那么实数a的取值范围是()A.(1,+)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2答案D答案A5.(2020湖南三湘名校十月联考,14)已知函数f(x)的图像关于y轴对称,当x0时,f(x)递增,则不等式f(2x)f(1-x)的解集为.答案(-,-1)(,+)解析结合题意,f(x)为偶函数,当x0时,f(x)递增,要满足f(2x)f(1-x),则要求|2x|1-x|,即(2x)2(1-x)2,解得x.关键能力 学案突破考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考点1证证明或判断函数的单调单调 性【例1】讨论函数f(x)=x+(a0)在(0,+)内的单调性.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3思考判断函数单调性的基本方法有哪些?解题心得1.判断函数单调性的四种方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;(2)可导函数可以利用导数证明.3.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x)的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3对点训练1判断并证明函数f(x)=(a0)在(-1,1)上的单调性.解当a0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a0时,f(x)在(-1,1)上递增.证明如下:(方法1定义法)任取x1,x2(-1,1),且x1x2,由于-1x1x20,x1-10,x2-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)0,当a0,即当a0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a0,解得x4或x-2,所以(4,+)为函数y=x2-2x-8的一个递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间为(4,+).(3)f(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex-(x+3)(x-1),当-3x0,当x1或x-3时,f(x)0,得f(x)的定义域为x4或x-1,由y=log2x是增函数,知f(x)的递减区间即y=x2-3x-4的递减区间,当x时,函数y=x2-3x-4递减,结合f(x)的定义域,可得函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为(-,-1).故选A.(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln(x-2)(6-x),定义域为(2,6),令t=(x-2)(6-x),则y=lnt,二次函数t=(x-2)(6-x)的对称轴为直线x=4,所以f(x)在(2,4)上递增,在(4,6)上递减,A错,C也错,D显然是错误的;当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,B正确.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考点3函数单调单调 性的应应用 (多考向探究)考向1利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3答案(1)9(2)D解析(1)f(x)的定义域为1,+),且f(x)在定义域上递增,f(x)min=f(1)=9.故答案为9.当x=2时,y=0.根据题意x(m,n时,ymin=0.所以m的取值范围是-1,2).故选D.解题心得函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图像最高点的纵坐标,函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3对点训练3(2020辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“”,定义如下,当ab时,ab=a;当a2bB.ab2D.ab2考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3答案(1)B(2)A解析(1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因为22b+log2b22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+)上递增.由f(a)f(2b)可得a2b.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3解题心得对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数的单调性比较大小.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3答案C考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考向3利用函数的单调性解不等式【例5】(2020新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-,0)上递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,3考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3答案Df(2)=0,f(-2)=0.f(x)是R上的奇函数,f(0)=0.f(x)在(-,0)上递减,f(x)在(0,+)上也递减.解得1x3或-1x0,满足xf(x-1)0的x的取值范围是-1,01,3,故选D.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)f(a+3),则实数a的取值范围为.答案(-3,-1)(3,+)解析由已知可得解得-3a3,所以实数a的取值范围为(-3,-1)(3,+).考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考向4利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)【例6】(2020山西太原三模,文10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上递增.若实数a满足f(log2a)+2f(1),则a的取值范围是()答案C解析原问题等价于f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上递增,所以f(|log2a|)f(1),所以|log2a|1.求解关于实数a的对数不等式,可得实数a的取值范围是,2考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3解题心得利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3答案D考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3要点归纳小结1.函数单调性判定的常用方法:图像法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.2.求函数值域或最值的常用方法:(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.(2)图像法:先作出函数在给定区间上的图像,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值.(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.(4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3要点归纳小结(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:(1)抓住对变量所在区间的讨论.(2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是取交.考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3要点归纳小结1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误.2.不同的单调区间之间不能用符号“”连接.案例探究(二)双变量“存在性或任意性”问题双变量问题中一般穿插有两个及以上的“任意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或任意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.类型1形如“对任意x1A,都存在2B,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x),若对任意x1-1,1,总存在x20,2,使得f(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.思维突破此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1A及x2B,使得f(x1)=g(x2)成立”思维突破本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1A,都存在x2B,使得f(x1)g(x2)成立”思维突破理解量词的含义,将原不等式转化为f(x)maxg(x)max,利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式,求得a的取值范围.思考1:在例3中,若把“存在x22,3”变为“任意x22,3”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是.提示问题“等价转化”为f(x)maxg(x)min,请读者自行求解.思考2:在例3中,若把“任意x1,1”改为“存在x1,1”,其他条件不变,则实数a的取值范围是.提示问题“等价转化”为f(x)ming(x)max,请读者自行求解.思考3:在例3中,若把“使得f(x1)g(x2)”变为“f(x1)g(x2)”,其他条件不变,则实数a的取值范围是.提示问题“等价转化”为f(x)ming(x)min,请读者自行求解.本 课 结 束。