§3 空间直角坐标系3．1 空间直角坐标系的建立3．2 空间直角坐标系中点的坐标学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点 空间直角坐标系思考1 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？答案 三个．思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？答案 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．梳理 (1)空间直角坐标系①建系方法：过空间任意一点O作三条两两互相垂直的轴、有相同的长度单位．②建系原则：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向．③构成要素：点O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面．(2)空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可用三元有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．特别提醒：(1)在空间直角坐标系中，空间任一点P与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．(2)对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则．1．空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．( × )2．空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．( √ )3．关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．( √ )类型一 确定空间中点的坐标例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标解 因为|PO|＝＝＝12，所以各顶点的坐标分别为P(0，0，12)，A，B，C，D.引申探究1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．解 各顶点的坐标分别为P(0，0，12)，A(5，0，0)，B(0，5，0)，C(－5，0，0)，D(0，－5，0)．2．若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为2，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，2)．反思与感悟 (1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y，0)．yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x，0，z)．(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)．跟踪训练1 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标解 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝×2＝，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A1(，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，－1，3)．类型二 已知点的坐标确定点的位置例2 在空间直角坐标系中作出点P(5，4，6)．考点 已知坐标系中点的坐标确定位置题点 已知坐标系中点的坐标确定位置解 方法一 第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二 以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5，4，6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思与感悟 已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2 点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )A．y轴上 B．xOy平面上C．xOz平面上 D．yOz平面上考点 已知坐标系中点的坐标确定位置题点 已知坐标系中点的坐标确定位置答案 C解析 ∵点(2，0，3)的纵坐标为0，∴此点是xOz平面上的点，故选C.类型三 空间中点的对称问题命题角度1 关于点和线的对称问题例3 (1)在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标是( )A．(0，0，0) B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12) D．(－2，3，12)考点 空间中点的对称问题题点 关于点的对称问题(2)已知点A(－3，1，－4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为( )A．(－3，－1，4) B．(－3，－1，－4)C．(3，1，4) D．(3，－1，－4)考点 空间中点的对称问题题点 关于坐标轴的对称问题答案 (1)C (2)A解析 (1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，∴P3(6，－3，－12)．故选C.(2)∵在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(－3，1，－4)，∴点A关于x轴对称的点的坐标是(－3，－1，4)．故选A.反思与感悟 (1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变．跟踪训练3 在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，3，－4)两点关于________对称．考点 空间中点的对称问题题点 关于坐标轴的对称问题答案 y轴命题角度2 关于平面对称例4 在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )A．(－1，3，－5) B．(1，－3，5)C．(1，3，5) D．(－1，－3，5)考点 空间中点的对称问题题点 关于坐标平面的对称问题答案 C解析 ∵两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1，3，5)．故选C.反思与感悟 本类题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变．跟踪训练4 点(1，a，b)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1，2，c)和(d，－2，－3)，则a，b，c，d的值分别是________________．考点 空间中点的对称问题题点 关于对称的综合问题答案 2，3，－3，11．点Q(0，0，2 017)的位置是( )A．在x轴上 B．在y轴上C．在z轴上 D．在平面xOy上考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标答案 C2．点(2，－1，5)与点(2，－1，－5)( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于xOy平面对称 D．关于z轴对称考点 空间中点的对称问题题点 关于坐标平面的对称问题答案 C3．点A(－1，，2)在xOz平面的射影点的坐标为( )A．(－1，－，2) B．(－1，0，2)C．(1，，－2) D．(0，，0)考点 题点 答案 B4．如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且PP′垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标答案 (2，0，1)5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标解 (1)显然A(0，0，0)，由于点B在x轴的正半轴上且|AB|＝4，所以B(4，0，0)．同理可得D(0，3，0)，A1(0，0，5)．由于点C在坐标平面xOy内，BC⊥AB，CD⊥AD，则点C(4，3，0)．同理可得B1(4，0，5)，D1(0，3，5)，与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有z坐标与点C不同，|CC1|＝|AA1|＝5，则点C1(4，3，5)．(2)由(1)知C(4，3，0)，C1(4，3，5)，则C1C的中点坐标为，即N.1．空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.一、选择题1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标答案 C解析 ②③④正确．2．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为( )A. B.C. D.考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标答案 B解析 由题图得A(0，0，0)，B1(1，0，1)，所以对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为.3．已知点A(x，5，6)关于原点的对称点为(－2，y，z)，。