第1 页 共 39 页. 一 等参单元及其应用 11 概述 11.1 等参单元的概念 11.2 等参单元的原理 11.3 工程应用的意义 22 等参单元的数值积分方法 32.1 数值积分方法 32.2 确定积分阶的原理 32.3 全积分单元与减缩积分单元讨论 43 线性等参单元和非协调元 54 等参单元的应用 6二 分析与计算 61 计算题一 62 计算题二 73 计算题三 85 计算题四 9三 上机实验 133.1 实验一 133.1.1 实验题目 133.1.2 实验目的 143.1.3 建模概述 143.1.4 计算结果分析与结论 153.1.5 实验体会与总结 233.2实验二 243.2.1实验题目 243.2.2实验目的 243.2.3 建模概述 253.2.4 计算结果分析与结论 263.2.5 实验体会与总结 273.3实验三 273.3.1实验题目 273.3.2实验目的 273.3.3建模概述 283.3.4计算结果分析与结论 283.3.5实验体会与总结 39一、课程论文：等参单元原理及应用1、 等参单元概述1.1概念 在有限元的学习中，我们在书本上经常可以看到三角形单元及四边形单元的应用，其边界都是直线和平面，对于结构复杂的曲边和曲面外形，只能通过减小单元尺寸，增加单元数量进行逐渐进行逼近，这样自由度的数目随之增加，并且使得计算时间长，工作量大。
另外这些单元的位移模式是线性模式，是实际位移模式的最低级逼近模式，问题的求解精度收到了很大的限制从本学期书本的学习中了解到，之前介绍的各种2、3维单元主要受到两个方面的约束：第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精度越高因此在这一点上，矩形单元优于3节点三角形单元，六面体单元优于四面体单元；第二是单元几何上的限制，上述矩形和六面体单元都不能模拟任意形状几何体，所有几种单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大解决上述矛盾的出路就是突破矩形单元和六面体单元几何方面的限制，使其成为任意四边形和任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度实用单元但是这类单元位移模式和形函数的构造和单元列式的导出不能沿用前面构造简单单元的方法，必须引入所谓的等参变换，采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值这种单元称为等参单元等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义1.2原理 下图为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处但在建立单元位移模式时产生了新的问题：单元上没有一个如矩形单元中的简单直接的局部坐标系，而又不能直接用x，y坐标系下的双线性位移模式（位移沿边界二次变化，不协调）。
须建立一种新的局部坐标系ξ-η（如图），使得4条边的坐标为常数（±1），则在ξ-η平面内，单元是一个边长为2的正方形 同时，该局部坐标系的建立在x-y平面上的任意四边形单元与ξ-η平面上的正方形之间形成了一个1-1对应的映射关系 称ξ-η平面内的正方形单元为基本单元或母单元x-y平面内的任意四边形单元称为实际单元显然，母单元的节点相应于不同的x， y坐标就得到不同的任意四边形单元 图1 4节点任意四边形单元及其母单元 建立了局部坐标系或映射后，我们只需要在ξ-η平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性任意四边形单元在母单元中的位移模式（或者称为ξ-η坐标系下的位移模式）与矩形单元相同： 当然，该位移模式在x，y坐标系下不是双线性位移模式，位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性 为了得到上述映射的数学表达，引入对母单元节点上x，y坐标进行插值的思想，将母单元上每一点对应的x，y坐标看成是对节点坐标的插值，插值函数与位移插值中的形函数相同： 这样就得到了一个事实上的映射，该映射是用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。
由于该几何变换式中采用了与位移模式相同的参数（插值函数），因此称为等参变换而所有采用等参变换的单元都称为等参单元1.3工程应用的意义 由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、载荷等特性矩阵的计算仍在原单元的规则域内进行，因此不管各个积分式的被积函数如何复杂，都可以方便地采用标准化的数值积分方法进行计算，从而使各类不同工程实际问题的有限元分析纳入了统一的通用化的程序借助于等参元可以对一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散因此，等参元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了重要的一步2、等参单元数值积分方法2.1、数值积分方法 等参单元刚度矩阵的被积函数形式往往比较复杂，一般都不能进行显示积分而需求助于数值积分计算单元特性矩阵的方法有Newton-Cotes积分、高斯积分、Irons积分、Hammer积分等为了减少积分点的数目和便于程序编制，一般采用高斯数值积分方法 高斯积分：一维高斯数值积分公式： —积分点 —积分点数目，积分阶 —权重系数结论：n阶高斯积分公式对2n-1次多项式被积函数可求得精确积分！ 同理，对二维高斯积分： 积分公式对ξ，η方向最高方次为2n-1的多项式可求得精确值。
2.2、确定积分阶的原理 （1）保证刚度矩阵积分精度的积分阶选择① 完全积分方案选择积分阶的基本考虑是保证被积函数所有项次精确积分，这种积分方案称为完全积分方案以二维单元刚度矩阵高斯数值积分为例：单元刚度矩阵为根据这个原理，具有规则形状的单元（|J|=常数）完全积分方案如下：二维4节点、三维8节点等参元分别是2×2、2×2×2积分；二维8节点、三维20节点等参元分别是3×3、3×3×3积分对于|J| ≠常数，需要增加积分阶数2）减缩积分方案实际应用中选取的积分阶往往可以低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数，这种积分方案称为减缩积分对二、三维连续体单元，通常按形函数中完全多项式阶数 p 来选取积分阶，即取 n=p根据这个原理，具有规则形状的单元（|J|=常数）减缩积分方案如下：二维4节点、三维8节点等参元分别是1×1、1×1×1积分；二维8节点、三维20节点等参元分别是2×2、2×2×2积分实际计算表明，采用减缩积分往往可以取得较完全精确积分更好的精度2）保证结构总刚度矩阵非奇异的积分阶选择① 数值积分条件下刚度矩阵的秩单元刚度矩阵数值计算公式为：根据矩阵秩的基本规则有，是高斯积分点数秩 ，为保证正确求解，数值积分的秩不能小于，即，是系统的独立自由度数，也就是系数矩阵的阶数。
因此系数矩阵非奇异的必要条件是 ② 减缩积分情况下刚度矩阵的奇异性减缩积分得到的往往缺秩，即是奇异的，即存在单元发生非刚体位移模式情况下，单元应变能为零的情况——零能模式（沙漏模式）因此要注意检查奇异性的必要条件，即2.3、全积分单元与减缩积分单元讨论 虽然减缩积分会出现零能模式，但在实际计算中减缩积分应用的十分广泛实际计算表明减缩积分往往可以取得较完全精确积分更好的精度这是主要由于：(1) 精确积分常常是由插值函数中非完全项的最高方次所要求，而决定有限元精度的，通常是完全多项式的方次这些非完全的最高方次项往往并不能提高精度，反而可能带来不好的影响取较低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，其实质是相当于用一种新的插值函数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善了单元的精度2) 在最小位能原理基础上建立的位移有限元，其解答具有下限性质即有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度选取减缩积分方案将使有限元计算模型的刚度有所降低，因此可能有助于提高计算精度3) 减缩积分方案对于泛函中包含罚函数的情况也常常是必须的，用以保证和罚函数相应的矩阵的奇异性，否则将可能导致完全歪曲了的结果。
由于减缩积分单元的特性，因此在使用时须注意一些问题，在网格扭曲严重的情况下，优先使用网格细化的线性减缩积分单元，对于接触问题，采用细网格的线性减缩积分单元，对于规则单元等选用完全积分单元3、线性等参单元在ANSYS软件中采用等截面悬臂梁端部受弯矩，求端部位移的平面应力问题来说明全积分、减缩积分线性等参单元在计算精度、剪力自锁、零能模式与总刚的奇异性等方面的差异悬臂梁左端固定，右端受一大小为M＝6 N·m的弯矩梁的长度l=0.3m,横截面高度h=0.03m，宽度b=0.01m材料为钢，弹性模量E=210GPa，泊松比u=0.3，速度的理论解：（1）采用ANSYS14.0中的PLANE182完全积分双线性单元，计算结果如下：单元1×102×204×208×40PLANE1820.386e-40.521e-40.520e-40.561e-4（2）采用ANSYS14.0中的PLANE182减缩积分单元，计算结果如下：单元1×102×204×208×40PLANE1820.1590.756e-40.614e-40.588e-4从计算结果发现：虽然与理论计算结果有差异，但是在网格划分密度相当的情况下，完全积分的计算结果较为精确 这是由于完全积分的线性单元出现了剪力自锁，剪力自锁引起单元在弯曲时过于刚硬，造成应变偏小，同时随网格的加密，剪力自锁效应可以得到改善，但与实际结果偏差仍较大。
而减缩积分单元存在沙漏问题（零能模式），使得结构过于柔软，变形偏大，甚至在在粗划网格情况下，产生无意义的结果，但在加密网格后，结果能够改善，但依然偏大非协调元在一次单元中引入了非节点的附加自由度，克服了剪力自锁和零能模式的不良影响，可以产生与二次单元相当的结果，而计算量却明显的降低，但其对于单元的过度变形很敏感，可能影响结果，所以在网格划分上，对于使用者有着较高的要求4、等参单元的应用 等参单元通常用来模拟二维、三维实体单元应用时可选择线性位移模式或二次位移模式，完全积分或减缩积分二维四边形和三维六面体线性单元有非协调位移模式可选择① 平面问题中的单元使用一般应力分析，优先使用8节点四边形二次单元（减缩积分、完全积分），其次使用四节点非协调元、6节点三角形二次单元，但非协调元要避免扭曲的单元形状在网格扭曲严重的情况下，优先使用网格细化的线性减缩积分单元有弯曲变形情况下，避免使用4节点双线性位移模式完全积分单元因为该单元有剪力自锁，会引起单元弯曲时过于刚硬对于接触问题，采用细网格的线性减缩积分单元或者非协调模式单元② 三维问题中的单元选择对于中小规模的一般结构分析，优先采用20节点六面体减缩积分、完全积分单元，应力集中区域，应采用完全积分单元。
对大规模分析或接触问题，优先采用8节点六面体非协调模式单元网格扭曲严重的情况下，应使用细网格8节点六面体减缩积分单元要求快速建模情况下，可考虑采用10节点四面体二次单元，但得到的模型规模（节点数）大于等效网格的六面体单元，否则结果不精确。