第十五章 对策论• 15.1 对策论的基本概念 • 15.2 矩阵对策的最优纯策略 • 15.3 矩阵对策的混合策略 • 15.4 求解矩阵对策中的计算技巧(自 学) • 15.5 两人有限非零和对策(自学)在日常生活中，经常可以看到一些具有相互斗争或竞争性质的行为，如下棋、打牌、体育比赛等还有企业间的竞争、军队或国家间的战争、政治斗争等，都具有对抗的性质在这类行为中，各方具有不同的目标和利益为实现自己的目标和利益，各方必须考虑对手可能采取的行动方案，并力图选择对自己最为有利或最为合理的行动方案 这种具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为这种研究对策的理论与方法,叫做对策论,也叫博弈论（Game Theory）• 对策论是运筹学的重要分支，最早研 究的问题是对抗或竞争中的各方所应 采取的策略以及由此得到的结果，并 给出策略优劣的分析研究方法是： 先构造出所论冲突的数学模型，然后 用数学方法加以分析、比较、计算 对策论诞生于1927年，由大数学家冯 ·诺伊曼创立冯·诺伊曼认识到经济 与政治中的某些决策条件在数学上与 某些策略对策等价，所以从分析这些 对策中所学到的东西可以直接应用于 现实生活中的决策。
冯冯· ·诺伊曼诺伊曼(1903-1957) (1903-1957)对策论是研究具有斗争性质现象的数学理论和方法，它是运筹学的一个重要分支最早的运筹学思想可以追溯到战国时期的齐王赛马，近年来 运筹学思想普遍运用到经济学中，用于解释一些 经济现象和做出最好的经济决策事实上，经济 学和对策 论的研究模式都是强调个人理性，在给 定的约束条件下追求效用最大化，1994年诺贝尔 经济学奖授予了三位博奕论专家：纳什(Nash)、 塞尔腾(Selten)和豪尔沙尼(Harsanyi)，其中最重要的原因之一是他们在非合作博奕论方面作出了 突出的贡献我国战国时期的“田忌齐王赛马”就是典型的对策行为齐王：上、 中、 下田忌：上、 中、 下齐王：上、 中、 下田忌：上、 中、 下齐王3:0取胜田忌2:1取胜对策问题各种各样，所以对策模型也千差万别，但 本质上都包括三个基本要素： 局中人、策略集、赢得函数(1)局中人 （Player）： 在一个对策行为中，有 权决定自己行动方案的对策参加者,称为局中人局中 人可以是人，也可以是集团，如齐王赛马的齐王和田忌 分别都是局中人；在人与自然的斗争中，人和自然都是 局中人。
通常用I表示局中人集合，如果有n个局中人， 则I={1,2,…n}一般要求一个对策中至少有两个局中 人局中人总是被假定是聪明且有理智的 § 15.1 对策论的基本概念(2)策略集 （Strategy）：对策中可供局中人选择 的一个实际可行的完整的行动方案，称为一个（纯） 策略； 一个局中人全体策略构成的集合，称为此局中 人的策略集参加对策的每一局中人iI的策略集记为 Si一般每一局中人的策略集中至少应包括两个（纯） 策略如《田忌齐王赛马》中，若用（上、中、下）表 示以上马、中马、下马依次参赛，就是一个纯策略齐王与田忌的策略集中，各自都有六个纯策略： S1={(上、中、下),(上、下、中),(中、上、下 ),(中、下、上),(下、上、中),(下、中、上)} S2={(上、中、下),(上、下、中),(中、上、下 ),(中、下、上),(下、上、中),(下、中、上)} § 15.1 对策论的基本概念(3)赢得函数 （支付函数 Score）： 局势：对策中，每一局中人所选定策略形成的策略组 合称一个局势设局中人1从自己的策略集S1={1,2 …,m}中选定 策略i，局中人2从自己的策略集S2={1, 2 …, n}选定 策略j，则S=(i, j)就构成两人对策中的一个局势。
在n个对策中，设si表示第i局中人的一个策略，则n个 局中人的策略组合形成的局势为S=(s1,s2,…sn)赢得函数：当一个局势S出现后，各局中人都有自己的 结果（得失），记为Hi(S)，它表示第i局中人的赢得（支 付）值显然Hi(S)是局势S的函数,称为局中人i的赢得函 数§ 15.1 对策论的基本概念例如在“齐王赛马”中，局中人集合I={1,2}；齐王的策略集用S1={1,…6}表示田忌的策略集用S2={1,…6}表示假定每胜一局赢得1分，输一局得-1分 如在1=(上、中、下)，1=(上、中、下)构成的局势S={1, 1}下 ：齐王的赢得为H1(S)=3田忌的赢得为H2(S)=-3 3 1 1 1 1 -11 3 1 1 -1 11 -1 3 1 1 1-1 1 1 3 1 11 1 1 -1 3 11 1 -1 1 1 3β2(上 下 中 )β3(中 上 下)β4(中 下上)β5(下中上)β1(上 中 下)β6(下上中)α1(上 中 下)α2(上 下 中)α3(中 上 下)α4(中 下上)α5(下上 中)α6(下 中上)齐齐王的赢赢 得矩阵为阵为齐王的策 略田忌的策 略对策行为的分类对策动态对策静态对策结盟对策不结盟对策联合对策合作对策无限策略对策有限策略对策二人多人零 和非零和零 和非零和同有限对策纯策略对策混合策略对策两人有限零和对策本章研究对象两人有限零和对策(即矩阵对策)• 2个局中人； • 每个局中人策略集的策略数目都是有限的 ; • 每一局势的对策都有确定的益损值； • 同一局势的两个局中人的益损值之和为零§ 15.2 矩阵对策的最优纯策略 一、矩阵对策问题数学模型的建立两人有限零和对策(矩阵对策)的数学模型为： ={Ⅰ,Ⅱ;S1,S2,A}其中Ⅰ表示第一个居中人， Ⅱ表示第二 个居中人；S1={1,2,…,m}，S2={1, 2, …, n}分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的策略集，A=(aij)mxn 为局中人Ⅰ的赢得矩阵，由于假定对策的结 果为零和，所以局中人Ⅱ的羸得矩阵为-A。
311-11113-111111311-11113-11-1111311-11113A=“田忌齐王赛马”对策问题的数学模型如下：= {Ⅰ,Ⅱ; S1,S2; A}Ⅰ表示齐王Ⅱ表示田忌S1={1,…6}表示齐王的策略集合;S2={1,…6}表示田忌的策略集合其中i，i {(上、中、下),(上、下、中),(中、上、下),(中、下、上),(下、上、中),(下、中、上)}A表示齐王的赢得矩阵 例题一例题一例题二• 某单位采购员在秋天决定冬季取暖用煤的 储量问题已知在正常的冬季气温条件下 要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件 下要消耗10吨和20吨假定冬季的煤价随 天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常 、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元 、15元、20元，又设秋季时煤价为每吨10 元在没有关于当年冬季准确的气象预报 的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支 出量少？建立该问题的对策数学模型例题二 解：将该问题看成对策问题,其数学模型为： г= {Ⅰ,Ⅱ;S1,S2;A} 其中Ⅰ表示采购员Ⅱ表示冬天的天气S1表示采购员在秋季购买煤的数量S1 ={10, 15 ,20}S2表示冬季气候状况S2={={较暖、正常、较冷较暖、正常、较冷} }A A表示采购员购煤的支出费用表示采购员购煤的支出费用例题二-100 -175 -300-150 -150 -250-200 -200 -20010吨15吨20吨较暖 正常 较冷A=冬季单价: 10 15 20秋季单价: 10元课堂练习 • 甲、乙双方谈判签订一项合同，甲方 的最后要价是25万元，而乙方的出价 是20万元，谈判陷于僵局，为了打破 僵局，双方约定，再各报一个价（必 须报整数价格），以下述价格成交： 谁让步多，取谁出的价，如果双方让 步相同，则取双方报价的中间值，问 甲、乙双方应如何报价？最后的成交 价是多少？(写出此对策问题的三要素 或者说建立该问题的数学模型)• 解： 将该问题看成对策问题,其数学模型为:г= {Ⅰ,Ⅱ;S1,S2;A}• 其中Ⅰ表示甲方• Ⅱ表示乙方S1表示甲方报价，分别为S1={1, 2,3 ,4}={21，22，23， 24}S2表示乙方报价，分别为S2={1, 2, 3 , 4} ={21，22，23， 24}A表示成交价格矩阵（见下页）21 21 21 22.522 22 22.5 2423 22.5 23 2422.5 22 23 2421222324甲25 乙20 1 2 3 4 432121 22 23 24 差价A= 二、矩阵对策在纯策略下有解的解法解法的基本思想是：双方都立足在最不利的情况下争取 最好的结果最大最小原则例题一 • 甲、乙双方谈判签订一项合同，甲方的最后 要价是25万元，而乙方的出价是20万元， 谈判陷于僵局，为了打破僵局，双方约定， 再各报一个价（必须报整数价格），以下述 价格成交：谁让步多，取谁出的价，如果双 方让步相同，则取双方报价的中间值，问甲 、乙双方应如何报价？最后的成交价是多少 ？ §写出此对策问题的三要素或者说建立该 问题的数学模型； §该对策问题是否存在纯策略意义下的平 衡解，如果存在，解为多少？21 21 21 22.522 22 22.5 2423 22.5 23 2422.5 22 23 24212222.52223 22.5 23 24 甲方25 乙方20 maxmaxminmin22.522.521 22 23 24 （2）所以该对策问题存在纯策略意义下的平衡解.甲方报价23万元,乙方报价22万元 最后的成交价格是22.5万元A= 21222324例题二• 某单位采购员在秋天决定冬季取暖用煤的储量问题 。
已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在 较暖与较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨假定 冬季的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、 正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元、15 元、20元，又设秋季时煤价为每吨10元在没有关 于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多 少吨能使单位的支出量少？ §写出此对策问题的三要素或者说建立该问题的 数学模型； §该对策问题是否存在纯策略意义下的平衡解， 如果存在，解为多少？-100 -175 -300-150 -150 -250-200 -200 -20010吨15吨20吨较暖 正常 较冷A=（2）可见该对策问题存在纯策略意义下的平衡解.采购员秋季购买20吨煤最稳妥 花费的费用为200万元-100 -150 -200 maxmaxmin-200-200-300-250-200mina11 a12 …. a1j …. a1na21 a22 …. a2j …. a2n…………………………ai1 ai2 …. aij …. ain…………………………am1 am2 …. amj …. amna1ca2e… aij …amdak1 ah2 …. aij …. atn Ⅰ方Ⅱ方maxmaxminminA= 理论总结理论总结可见居中人Ⅰ的赢得v1=maxminaij,居中人 Ⅱ的损失v2=minmaxaij, 当v1=v2时,该点称为鞍点即为纯策略意义下的平衡解; 通常在具有 鞍点的对策问题中,称为该矩阵对策具有纯策略意义下的平衡解α 1α 2… α i…α mβ 1 β 。