倍长中线法证三角形全等（教师版）例 1 、如下图所示，已知△ ABC 中， AC=BC ，∠ACB=90求证： AB=BC+CD.，BD 平分∠ ABC，【分析】 要证 AB=BC+CD ，由 BD 平分∠ ABC ，我们想到翻折△ BCD，使得BC 与 AB 重合，如上图，翻折了以后再证明 AE＝DE 就可以了 .证明： BD 平分∠ ABC ，将△ BCD 沿 BD 翻折 180，点 C 落在 BA 上的 E点，则有 BC=BE，在△ BCD 和△BED 中，∴ △BCD≌△BED（SAS）∴ ∠DEＢ=∠ACB=90∴ ∠DEＡ=90，，CD=DE，（全等三角形对应边，对应角相等）∵ △ABC 中，∠ ACB=90 ， AC=BC ，∴ ∠A=45， ∴ ∠EDA= ∠A=45，∴ DE=EA，∴ AB=BE+EA=BC+CD ， 即 AB=BC+CD.例 2、 如下图所示，△ ABC 中，∠ C=2∠B，∠ 1=∠2， 求证： AB=AC+CD.【分析】 本题要证的结论也是两条线段长度之和等于一条线段的长度，与前面例 2 的思路相同，我们想到使不共线两条线段 AC、CD 组合成一条线段，延长AC 是必然的（如上图） .由于有条件∠ 1＝∠ 2，然后再证明△ ABD ≌△ AED 就轻而易举 .证明：延长 AC 至 E，使 AE=AB ，连接 DE， 在△ ABD 和△AED 中，∴ △ABD ≌△ AED. ∴ ∠B=∠E.∵ ∠ACD= ∠E+∠CDE，∠ ACD=2 ∠B，∴ ∠ACD=2 ∠E. ∴ ∠E=∠CDE.∴ CD=CE. ∴ AB=AC+CD.【小结】 本例中用到的方法叫 “补短法”，是将较短的线段 AC 补长，构造全等三角形，从而达到求解目的 .也可采用 “截长法 ”，即在 AB 上截取 AF=AC ，连接 DF，构造三角形全等，这两种方法通常适合于证明一条线段等于两条线段的和 .例 3、 如下图所示，在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的高，∠ B=2∠ C.求证： CD=AB+BD.【分析】 在 DC 上截取 DE=DB 后显然△ ADE ≌△ ADB ，然后再证明 AE＝EC就可以了 .证明：在 DC 上截取 DE=DB ，连接 AE， 则△ ADE≌△ ADB.∴ AE=AB ，∠ AEB= ∠B，∵ ∠AEB= ∠C+∠ CAE，∠ B=2∠C， ED=BD ，∴ ∠AEB=2∠C.∴ ∠C=∠CAE ，故 CE=AE=AB.∴ CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例 4、 如下图所示，在△ DEF 中， DE=DF ，过 EF 上一点 A 作直线分别与 DE、DF 的延长线交于点 B、C，且 BE=CF.求证： AB=AC.【分析】 要证 AB=AC ，我们很自然想到过点 B 做 CD 的平行线，然后再证△ AGB≌△ AFC. 条件 DE=DF 和 BE=CF 结合所作的平行线可得出 BG＝CF，有了边的相等关系证△ AGB ≌△AFC 就容易多了 .证明：过 B 作 BG∥CD 交 EF 于 G.∵ BG∥CD， ∴ ∠EGB=∠EFD.∵ DE=DF， ∴ ∠E=∠EFD，∴ ∠E=∠EGB，∴ BE=BG.∵ BE=CF， ∴ BG=CF.∵ BG∥CD.∴ ∠GBA= ∠ACF，∠AGB= ∠AFC.在△ AGB 和△AFC 中，∴ △AGB≌△ AFC.∴ AB=AC.例 5、 如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF。
求证： AC=BF 证明：延长 FD 至 H，使得 DH=FD ，连结 HC∵ D 为 BC 中点∴ BD=CD在△ BFD 和△ CHD 中∴ △BFD≌△ CHD(SAS)∴ ∠H=∠BFH∵ AE=FE∴ ∠HAC= ∠AFE 又∵ ∠AFE= ∠BFH∴ ∠H=∠HAC∴ CH=CA∴ BF=AC例 6、 如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠ DAB,∠ CBA，CD过点 E，求证;AB＝ AD+BC.A DEB C例 7、 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=E，F求∠ EAF的度数 . A DFB E C例 8、 如图， ABC 中，AB