初中数学竞赛精品标准教程及练习48：非负数

1初中数学竞赛精品标准教程及练习(48)非负数一、内容提要1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作 a≥0,读作 a 大于或等于零，即 a 不小于零.2. 初中学过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数.　若 a 是实数，则 ≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数.　若 a 是实数，则 a2n≥0（n 是正整数）.⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.　若 a是二次根式，则 ≥0，　a≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程 ax2+bx+c=0　(a≠0) 有两个实数根， 则 b2－4ac ≥0.若 b2－4ac≥0　(a≠0)， 则二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3. 非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a 2 有最小值 0（当 a=0 时） ， 1x也有最小值 0（当 x=－1 时）.　　⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若 a≥0 且－a ≥0，　　则 a=0； 如果 a－b≥0 且 b－a ≥0，那么 a－b=0.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若 a，b，x 都是实数数，则 a2+b2≥0,　　 a× b≥0,　　a 2 x≥0.⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如　若 1（b＋3） 2+ 1c=0那么 012)(ca即 012ca∴ 5.031cba.二、例题例 1. 求证：方程 x4+3x2+2x+6=0 没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x 4+2x2+1）+(x 2+2x+1)+4=0即（x 2+1） 2+(x+1)2=－4∵（x 2+1） 2＞0，(x+1) 2≥0，2∴（x 2+1） 2+(x+1)2≥0.但右边是－4.∴不论 x 取什么实数值，　等式都不能成立.∴方程 x4+3x2+2x+6=0 没有实数根.例 2. a 取什么值时，根式 )1(2)1(2aa有意义？解：∵二次根式的被开方数（a－2）( 与(a－2)(1－ 都是非负数，且（a－2）( )1与(a －2)(1－ )是互为相反数，∴（a－2）( ＝0.　　（非负数性质 2）∴a－2=0；或 =0.∴a 1=2, 　 a 2=1, 　a 3=－1.答：当 a=2 或 a=1 或 a=－1 时，原二次根式有意义.例 3. 要使等式（2－ x） 2+ 486x＝0 成立，x 的值是＿＿＿＿.解：要使原等式成立∵（2－ 31x） 2≥0，　∴ 48162x≤0.∴ 4862＝ ＝－1，(x－4≠0)∴（2－ 31x） 2＝1，且 x－4<0.即 04)x－（解得 493或＝∴x=3 . 答：x 的值是 3.例 4. 当 a,　b 取什么实数时，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？解：∵当△≥0 时，方程有实数根.解如下不等式：［2（1＋a） ］ 2－4(3a 2+4ab+4b2+2)≥0－8a 2－16ab－16b 2+8a－4≥0 ，　2a2+4ab+4b2－2a+1≤0，（a+2b） 2+(a－ 1)2≤0　①∵（a+2b） 2≥0 且(a－1) 2≥0，得（a+2b） 2+(a－1) 2≥0 　②∴只有当（a+2b） 2＝0 且(a－1) 2＝0　不等式①和②才能同时成立.3答：当 a=1 且 b=－ 21时，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根.三、练习 481. 已知在实数集合里 x3有意义，则　x=____.2. 要使不等式（a+1） 2≤0 成立，实数 a=_____.3. 已知 11ba＝0，则　a=＿＿,　b=＿＿,　a 100b101=____.4. 把根号外因式移到根号里：①　－a =＿＿＿， ②　b =＿＿＿＿， ③－c 1=＿＿＿＿.5.如果 a

　　因为左边　a≤0，　　右边 x≥0　　47.　 －a ∵ b=1,a 21　　　　　　　8.　x=－ 2, 最大值 39.　 　 0,4c.4;,05,caca； 　　　10.　　 2yx； 　　　　　　11 12yx12. 　△＝8k 2+1 ……13. 　用求差法，　配方（乘上 2×0.5）14.　　－ a41＜1。