完整word版)排列组合问题经典题型与通用方法(1)排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种4人的全排列，A44解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于24种，答案：D.2. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A62种，不同的排法种数是A55A623600种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即1 A5560种，选B.24. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C102C81C712520种，选C.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、C124C84C44种B、3C124C84C44种C124C84A33C124C84C44C、D、A33种种答案：A.6. 全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？/解析：把四名学生分成3组有C42种方法，再把三组学生分配到三所学校有A33种，故共有C42A33 36种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种答案：B.7. 名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到 7个班级，就是把 10个名额看成 10个相同的小球分成 7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的 9个空位中插入 6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C96 84种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A83方法，所以共有3A83；③若乙参加而甲不参加同理也有3A83种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A82种，共有7A82方法.所以共有不同的派遣方法总数为A843A833A837A824088种.9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种A55解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，A41A31A33,A31A31A33,A21A31A33,A31A33个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A7,14,21,98共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做A1,2,3,4,,100共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C142，从A中任取一个，又从A中任取一个共有C141C861，两种情形共符合要求的取法有C142C141C8611295种.（3）从1，2，3，，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将I1,2,3,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A4,8,12,100；能被4除余1的数集B1,5,9,97除余2的数集C2,6,,98，能被4除余3的数集，能被4D3,7,11,99，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C252 C125C251 C252种.10. 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A B) n(A) n(B)n(AB)例10.从6名运动员中选出 4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取 4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)n(A)n(B)n(AB) A64 A53 A53 A42 252种.11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有A31种，4名同学在其余4个位置上有A44种方法；所以共有A31A4472种12. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（A、36种B、120种C、720种D、1440种6解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6）720种，选C.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排， 某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A42种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A41种，其余5个元素任排5个位置上有A55种，故共有A41A42A555760种排法.13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C93C43C5370种,选.C解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C52C41C51C4270台,选C.14. 选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C42种，再排：在四个盒中每次排3个有A43种，故共有C42A43144种.（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有C52C42种，这四名运动员混和双打练习有A22中排法，故共有C52C42A22120种.15. 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B。