精品学习资源第十四章幂级数 < 1 0 时）§ 1 幂级数< 4 时）幂级数的一般概念 .型如 和的幂级数 .幂级数由系数数列 唯独确定 .幂级数至少有一个收敛点 .以下只讨论型如 的幂级数 .幂级数是最简洁的函数项级数之一一. 幂级数的收敛域 :.Th 1 时, ； ⅱ > 时 ； ⅲ > 时 .欢迎下载精品学习资源证 , 〔 强调开方次数与 的次数是一样的 >.⋯⋯由于 , 因此亦可用比值法求收敛半径 .幂级数 的收敛区间 : .幂 级 数 的 收 敛 域 : 一般来说 , 收敛区间 收敛域 .幂级数 的收敛域是区间 、 、 或 之一 .例1 求幂级数 的收敛域 . 〔 >例2 求幂级数 的收敛域 . 〔 >例3 求以下幂级数的收敛域 :⑴ ； ⑵ .例4 求级数 的收敛域 .Ex[1] P50— 51 1.二． 幂级数的一样收敛性：Th 3 如幂级数 的收敛半径为 ，就该幂级数在区间 内闭一样收敛 .证 , 设 , 就对 , 有, 级数 肯定收敛 , 由优级数判别法幂级数 在 上一样收敛 .因此 ,幂级数 在 区 间欢迎下载精品学习资源内闭一样收敛 .Th 4 设幂级数 的收敛半径为 , 且在点 〔 或 > 收敛 , 就幂级数 在区间 〔 或 > 上一样收敛 .证 . 收敛, 函数列 在区间 上递减且一样有界 ,由 Abel 判别法 , 幂级数 在区间 上一样收敛 .易见 ,当幂级数 的收敛域为 〔 时 , 该幂级数即在区间 上一样收敛 .三. 幂级数的性质 :1. 逐项求导和积分后的级数 :设 ,*> 和 **> 仍为幂级数 . 我们有Th 5 *> 和 **> 与 有相同的收敛半径 . 〔 简证 >注: *> 和 **> 与虽有相同的收敛半径 〔因而有相同的收敛区间 >，但未必有相同的收敛域 ,例如级数 .2. 幂级数的运算性质 :定义 两个幂级数 和 在点 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数 .Th 6 .欢迎下载精品学习资源Th 7 设幂级数和的收敛半径分别为 和 ,, 就ⅰ >ⅱ > +, — 常数， ., .ⅲ > 〔 >〔> , ,.3. 和函数的性质 :Th 8 设在 〔 内 . 就ⅰ > 在 内连续；ⅱ >如级数 或 收敛, 就 在点 〔 或 >是左〔 或右 > 连续的；ⅲ > 对 , 在点 可微且有 ；ⅳ >对 , 在区间 上可积 , 且 .注 : 当 级 数 收 敛 时 , 无 论 级 数 在 点 收 敛 与 否 , 均 有. 这 是 因 为 : 由 级 数 收 敛 , 得 函 数在点 左连续 , 因此有 .推论 1 和函数 在区间 内任意次可导 , 且有欢迎下载精品学习资源, ⋯⋯.注: 由系 1可见 , 是幂级数的和函数的必要条件是 任意次可导 .推论 2如 , 就有例5验证函数 满意微分方程 .验证所给幂级数的收敛域为 .., 代入 , .例6 由于 , .所以 , ..,Ex[1] P50— 51 4 , 5， 6 .欢迎下载精品学习资源§ 2 函数的幂级数绽开 < 4 时）一. 函数的幂级数绽开 :1. Taylor 级数 : 设函数 在点 有任意阶导数 .Taylor 公式和 Maclaurin 公式. Taylor 公式：.余项 的形式 :Peano型余项 : ,<只要求在点 的某邻域内有 阶导数， 存在）Lagrange型余项 : 在 与 之间 .或 .积分型余项 : 当函数 在点 的某邻域内有 阶连续导数时 , 有.Cauchy余项 : 在上述积分型余项的条件下 , 有 Cauchy余项.特殊地， 时， Cauchy余项为在 与 之间.Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项 , 是用多项式靠近函数 . 项数无限增多时 , 得欢迎下载精品学习资源,称此级数为函数 在点 的Taylor 级数 . 只要函数 在点 无限次可导 , 就可写出其 Taylor 级数. 称 = 时的 Taylor 级数为 Maclaurin 级数,即级数 .自然会有以下问题 : 对于在点 无限次可导的函数 ,在 的定义域内或在点 的某邻域内 , 函数 和其 Taylor 级数是否相等呢 .2. 函数与其 Taylor 级数的关系：例1 函数 在点 无限次可微 . 求得 ,. 其Taylor 级数为 . 该幂级数的收敛域为. 仅在区间 内有 = . 而在其他点并不相等 , 由于级数发散 .那么 , 在 Taylor 级数的收敛点 ,是否必有 和其 Taylor级数相等呢 .回答也是否定的 .例2函数 在点 无限次可导且有 因此 Taylor 级数，在 内到处收敛 .但除了点 外,函数 和其Taylor 级数并不相等 .另一方面 ,由本章 §1 Th8推论 2<和函数的性质）知 :在点 的某邻域内倘有 ,就 在点 无限次可导且级数 必为函数 在点 的Taylor 级数 .欢迎下载精品学习资源综上 , 我们有如下结论 :⑴ 对 于 在 点 无限次可导的函数 , 其Taylor 级数可能除点 外均发散 ,即便在点 的某邻域内其 Taylor 级数收敛 ,和函数也未必就是 .由此可见 ,不同的函数可能会有完全相同的 Taylor 级数 .⑵ 如 幂 级 数 在点 的某邻域内收敛于函数 ,就该幂级数就是函数 在点 的Taylor 级数.于是 ,为把函数 在点 的某邻域内表示为关于 的幂级数，我们只能考虑其 Taylor级数 .3. 函数的 Taylor 绽开式：如在点 的某邻域内函数 的Taylor级数收敛且和恰为 ，就称函数 在点 可绽开成 Taylor级数 〔自然要附带绽开区间 .称此时的 Taylor 级数为函数 在点的Taylor 绽开式或幂级数绽开式 .简称函数 在点 可展为幂级数 .当 = 0 时,称Taylor 绽开式为 Maclaurin 绽开式 .通常多考虑的是 Maclaurin 绽开式 .4. 可展条件 :Th 1 〔必要条件 > 函数 在点 可展 在点 有任意阶导数 .Th 2 〔充要条件 >设函数 在点 有任意阶导数 .就 在区间 内等于其 Taylor 级数 〔即可展 >的充要条件是 :对 ,有 .其中 是Taylor 公式中的余项 .证把函数 绽开为 阶Taylor 公式 , 有.Th 3 〔充分条件 > 设函数 在点 有任意阶导数 ,欢迎下载精品学习资源且导函数所成函数列 一样有界 , 就函数 可展 .证利用 Lagrange型余项 , 设 , 就有.例3 绽开函数 ⅰ> 按 幂； ⅱ >按 幂.解,,.所以 , ⅰ > .可见 , 的多项式 的 Maclaurin 绽开式就是其本身 .ⅱ >.Ex[1] P58 1 ， 3 ⑴ .二. 初等函数的幂级数绽开式 :初等函数的幂级数绽开式才是其本质上的解读表达式 .为得到初等函数的幂级数绽开式 ,或直接绽开 ,或间接绽开 .1. . 〔 验 证 对 R ， 在区间 〔 或 >上有界 , 得一样有界 . 因此可展 >.欢迎下载精品学习资源.2. , ., .可展是由于 在 内一样有界 .3. 二项式 的绽开式 :为正整数时 , 为多项式 , 绽开式为其自身；为不是正整数时 , 可在区间 内绽开为对余项的争论可利用 Cauchy 余项 . 详细争论参阅 [1] P56.进一步地争论可知 〔 参阅Г . М . 菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》其次卷其次分册 .>:当 时, 收敛域为 ； 当 时, 收敛域为 ；当 时, 收敛域为 .利用二项式 的绽开式 , 可得到许多函数的绽开式 . 例如取 , 得 ， .取 时, 得 , .间 接 展 开 : 利用已知绽开式 , 进行变量代换、四就运算以及微积运算 ,可得到一些函数的绽开式 .利用微积运算时 ,要求一样收敛 .幂级数在其收敛区间内闭一样收敛 ,总可保证这些运算畅通无阻 .欢迎下载精品学习资源4. ..事实上 , 利用上述 的绽开式 , 两端积分 , 就有,.验证知绽开式在点 收敛, 因此 , 在区间 上该绽开式成立 .5. .由 . 两端积分 , 有验证知上述绽开式在点 收敛 , 因此该绽开式在区间 上成立 .例 4 绽开函数 .解.例 5 绽开函数 .解欢迎下载精品学习资源.Ex[1] P58 2 ⑴―⑼ , 3 ⑵ 〔 提示> .欢迎下载。