2 代数方程的性质一、多项式与代数方程的一般性质[代数基本定理］ 每个复数域上n次代数方程 f（x）=a0xn+a1xn—1+L+an－1x+an=0 （n1）在复数域中至少有一个根代数基本定理的推论:每个n次代数方程在复数域中有n个根，而且只有n个根［多项式的导数] 多项式f(x）的导数为（x)=na0xn－1+（n－1）a1xn－2+L+an－1微分学中仅考虑实变数函数的导数,而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样［单根与重根]1 多项式的单根不是它的导数的根2 多项式的m重根（即有m个根相同)是它的导数的m－1重根（m>1).3 若x1，x2,L，xk分别为f (x)的α1，α2，L，αk（α1+α2+L+αk=n）重根,则f (x）=a0(x－x1)（x－x2）L(x－xk）[洛尔定理及其推论] 由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f （x）=0的两个实根之间总有(x)=0的一个实根.从这个定理可推出下列两个推论:1 若f（x）的一切根都是实的，则（x)的一切根也是实的.在f(x）的相邻两根之间有（x）的一个根并且是一个单根.2 若f(x）的一切根都是实的,且其中有p个(计算重根）是正的，则(x）有p个或p－1个正根。
[多项式的相关］1 若多项式f （x),(x）的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数α1,L，有相等的值，即f(αi）=(αi） (i=1，L，n+1)，则f （x)= (x）. 2 多项式f (x)和(x)的根完全相同的充分必要条件是f (x)和（x)只差一个不等于零的常数因子 [整根与有理根］ 任意整系数方程f (x)=0，若有一个有理根(为既约分数），则p是αn的约数，q是α0的约数. 由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数. ［实根与复根，共轭实根与共轭复根］ 1 任意有理系数方程f （x）=0，若有一个根a+(a，b是有理数,是无理数)，则必有另一个根a－这时a+与a－称为一对共轭实根. 2 任意实系数方程f （x)=0的复根只可能是成对的共轭复根,并且根的重数相同从而，复根的个数是偶数. 3 任意实系数奇数次方程f (x)=0至少有一个实根 4 任意实系数偶数次方程f (x）=0，a0an〈0，则至少有两个实根(一个正根和一个负根) ［根与系数的关系］ 设f （x)=xn+a1xn－1+L+an为复数域S上的一元多项式,x1,x2,L，xn为f (x）在S中的n个根,则根与系数的关系为x1+x2+L+xn==－a1x1x2+x1x3+L+xn-1xn==a2x1x2x3+x1x2x4+L+xn—2xn-1xn==－a3LLLLLLx1x2Lxn=(－1）nan这就是说，f (x)的xn—k的系数ak等于从它的根x1,x2,L,xn中每次取k个（不同的）一切可能乘积之和,若k是偶数，则取正号，若k为奇数，则取负号. ［根的范围］ 设ξ为复系数代数方程f （x）=a0xn+a1xn-1+L+an—1x+an=0 (1)的根。
1 若所有系数ai0 （i=0,1,L,n),则,其中为实系数代数方程F(x)=xn－xn－1—L-=0的一个正实根. 2 设γ1，γ2,L,γn—1为任意正数,则τ,其中τ为下列n个数中最大的一个：+， +, L, L+,特别,取γi=1(i=1,2，L,n－1)时,有max (2)方程（1)中作变换x=,可求出的上界，因而得到 (3）更进一步，记（2)式右边为M，记(3）式右边为m,如果取ρ〈M,使得L取〉m，使得L那末有 3 设γ为任意正数，则,其中τ1=max特别，取γ=1，有 4 若所有系数都为正实数，则min 5 若方程（1)的系数满足不等式则方程（1)至多有一个绝对值≥1的根ξ1，而且 [多项式的分解] 1 设f (x)为实数域上的多项式,若有非常数的实系数多项式g（x)和h（x）,使得f (x)=g(x）h（x)则称f （x)为实数域上可约（或可化），否则称f(x)为实数域上的不可约多项式 2 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含(共轭）复根的二次多项式. 3 每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积. 有理数域上的多项式的分解见第二十章，5，2. ［余数定理与综合除法] 若c为一常数，则多项式f （x）除以x－c所得的余数等于f(c)。
设 f (x）=a0xn+a1xn—1+L+an－1x+an求f （x）除以x－c的商式与余数其计算格式如下： c） a0 a1 a2 L an-1 an b0c b1c L bn-2c bn—1c b0 b1 b2 L bn—1 bn式中b0=a0,bi=ai+bi-1c(i=1,2,L，n)于是得到商式 q（x)=b0xn-1+b1xn-2+L+bn-1余数 r=bn=f(c）例 f （x）＝ 除以 x－2. 列出算式 2) 1 2 －3 0 －5 2 8 10 20 1 4 5 10 15= f (2）所以 [多项式的泰勒公式（秦九韶法)] n次多项式f （x)=a0xn+a1xn-1+L+an—1x+an （a00）在任意点c的泰勒展开式为f （x）=b0(x－c)n+b1（x－c)n-1+L+bn-1(x－c）+bn式中系数bi (0≤i≤n）按下面的方法计算.首先在(n+2）(n+2)方阵的对角线上列出a0,a1，L，an，d（d为符号），在第1列上列出a0(即ai,i=ai—1，i=1，2,L,n+1;an+2,n+2=d;ai,1=a0，i=1，2，L，n+2).然后再按递推公式ai,jc+ai，j+1=ai+1，j+1 （i=2，L,n+1； j=1，L，i－1)自上而下,自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第n+2行各元素即为所求系数，即b0=a0, bi=an+2，i+1 (i=1，2,L，n) 例 求f （x)＝ 在x=2处的泰勒展开式。
解 则 f (x)＝二、多元多项式对称多项式结式 ［多元多项式] 设常数c1,c2，L,ck属于一个数域S，αi,βi，L,νi（i=1，2，L,k)是正整数或零,则称形如L+的表达式为数域S上元素x1，x2,L,xn的n元多项式.称为它的项，ci为它的系数，αi为项中关于x1的次数，βi为项中关于x2的次数,等等αi+βi+L+为项的次数在多项式中系数不为零的任一项关于xi的最高次数称为多项式关于xi的次数,系数不为零的任一项的最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式. 每个m次多项式f（x1,x2,L，xn)都可唯一地表示成f（x1,x2，L，xn）=式中fi(x1，x2,L，xn)为i次齐次多项式. 为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如x1的降幂排列如下：a0（x2，L，xn)x1m+ a1（x2，L,xn)x1m—1+L+ am(x2，L,xn)式中a0(x2，L，xn), a1(x2,L,xn)，L, am（x2,L,xn)为x2，L,xn的n－1元多项式. 若f1,f2，L，fk分别为m1，m2，L,mk次的多元多项式，则乘积f1f2Lfk为m1+m2+L+mk次。
［对称多项式] 如果在一个n元多项式f(x1，x2，L,xn)中,对调任一对xi和xj后,f(x1,x2，L,xn)不变，那末称它为x1，x2,L,xn的对称多项式 [初等对称多项式] 设 LLLLLL σn=x1x2Lxn则称σ1，σ2，L,σn为初等对称多项式例如，由多项式的根与系数的关系(本节，一）可知,多项式的系数除符号外都是根的初等对称多项式 ［对称多项式基本定理] 在数域S上，每个n元对称多项式f(x1,L，xn）都可唯一地表成x1，L，xn的初等对称多项式（系数在S中）的多项式. ［牛顿公式] 设f（x）=（x－x1） (x－x2）L （x－xn）=xn－σ1xn－1+L+（－1)nσnsk=x1k+x2k+L+xnk (k=0，1,2，L)则下面牛顿公式成立: k≤n时, sk－σ1sk-1+σ2sk—2+L+(－1）k-1σk-1s1+（－1）kkσk =0 k>n时, sk－σ1sk—1+σ2sk-2+L+(－1)nσnsk—n=0 [结式］ 设f(x）=a0xm+a1xm－1+L+am=a0 (m>0）j(x）=b0xn+b1xn－1+L+bn=b0 (n〉0)则 R(f,j)= 这个m+n阶行列式R(f,j)称为多项式f(x)和j( x)的结式,式中空白处的元素都是零.结式具有性质： R(f,j)=(－1）mn R(j,f） R(f,j）=设a0,b0不全为零,则f(x），j(x)在复数域上有公共根的充分必要条件是它们的结式R(f,j)=0。
行列式R(f，j）是f(x）与j（x)的系数的一个m+n次齐次多项式，关于a0,a1，L,am是n次齐次多项式，关于b0，b1,L,bn是m次齐次多项式三、代数方程的根的隔离 [傅立叶—布当判别法］ 设f(x）=0为实系数n次代数方程，a，b为二实数，适合a
特别，当p=0时,无正根,当p=1时，有且仅有一个单正根 上面两个定理没有解答这样的问题：一个给定的实系数方程是否有实根，有几个实根,并且在给。