山东省郯城三中初中数学《等比数列》测试

1第 3课时 等比数 列1．等比数列的定义： )(＝q（q 为不等于零的常数） ．2．等比数列的通项 公式：⑴ a n＝a 1qn－1 ⑵ a n＝a mqn－m 3．等比数列的前 n项和公式：Sn＝ )1(4．等比中项：如果 a，b，c 成等比数列，那么 b叫做 a与 c的等比中项，即 b2＝ （或 b＝ ） ．5．等比数列{a n}的几个重要性质：⑴ m，n，p，q∈N *，若 m＋n＝p＋q，则 ．⑵ S n是等比数列{a n}的前 n项和且 Sn≠0，则 Sn，S 2n－S n，S 3n－S 2n成 数列．⑶ 若等比数列{a n}的前 n项和 Sn满足{S n}是等差数列，则{a n}的公比 q＝ ．例 1. 已知等比数列{a n}中，a 1＋a n＝66，a 2an－1 ＝128，S n＝126，求项数 n和公比 q的值．解：∵{a n}是等比数列，∴a 1·an＝a 2·an－1 ，∴ 86，解得 642a或 1n若 a1＝2，a n＝64，则 2·qn－1 ＝64∴q n＝32 q由 Sn＝ 261)3(2)(1q，解得 q＝2，于是 n＝6若 a1＝64，a n＝2，则 64·qn－1 ＝2∴q n＝ 3由 Sn＝ 126)3(641)(an解得 q＝ 2，n＝ 6变式训练 1.已知等比数列{a n}中，a 1·a9＝64，a 3＋a 7＝20，则 a11＝ ．解：64 或 1 由 2064739a206473典型例题基础过关241673a或 73 ∴ q 2＝ 1或 q2＝2，∴ a 11＝ a7 q2，∴ a 11＝64 或 a11＝1例 2. 设等比数列{a n}的公比为 q(q>0)，它的前 n项和为 40，前 2n项和为 3280，且前 n项中数值最大项为 27，求数列的第 2n项．解：若 q＝1，则 na1＝40，2na 1＝3280 矛盾，∴ q≠1．∴ 32801)(4qan两式相除得：q n＝81，q＝1＋2a 1又∵q>0，∴ q>1，a 1>0∴ {a n}是递增数列．∴ a n＝27＝a 1qn－1 ＝ 128a解得 a 1＝1，q＝3，n＝4变式训练 2.已知等比数列{a n}前 n项和 Sn＝2 n－1，{a n2}前 n项和为 Tn，求 Tn的表达式．解：(1) ∵a 1＋2 a22＝0，∴公比 q＝ 1a又∵S 4－S 2＝ 8，将 q＝－ 1代入上式得 a1＝1，∴a n＝a 1qn－1 ＝(－ 2) n－1 (n∈N *)(2) an≥ 6(－ ) n－1 ≥( )4n≤5∴原不等式的解为 n＝1 或 n＝3 或 n＝5．例 3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数．解：设这四个数为 a－d，a，a＋d， ad2)(依题意有： 126)(2da解得： 4 或 69∴ 这四个数为 0，4，8，1 6或 15，9，3，1．变式训练 3.设 nS是等差数列 na的前 项和， 663,24,1()nnSS，则 n等于（ ）A. 15 B. 16 C. 1 7 D. 18答案： D。

解析：由 6324,1nnS得 234580nnnaa，再由3161()32,36, 324,18nnnaSaS例 4. 已知函数 f(x)＝(x－1) 2，数列{a n}是公差为 d的等差数列，数列{b n}是公比为 q的等比数列(q≠1)，若 a1＝f(d－1)，a 3＝f(d＋1)，b 1＝f(q－1)，b 3＝f(q＋1)，(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2) 设数列{c n}对任意的自然数 n均有： 121)(nnabcc ，求数列{c n}前 n项和 Sn．解：(1) a 1＝(d－2) 2，a 3＝d 2，a 3－a 1＝2d即 d2－(d－2) 2＝2d，解之得 d＝2∴a 1＝0，a n＝2(n－1)又 b1＝(q－2) 2，b 3＝q 2，b 3＝b 1q2即 q2＝(q－2) 2 q2，解之得 q＝3∴b 1＝1，b n＝3 n－1(2) 14,)( ncaCSn＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n＝4(1×3°＋2×3 1＋3×3 2＋…＋n×3 n－1 )设 'n1×3°＋2×3´＋3×3 2＋…＋n×3 n－13 'S1×31＋2×3 2＋3×3 3＋…＋n×3 n－2 'n1＋ 3＋3 2＋3 3＋…＋3 n－1 －n×3 n＝ 2)13(－3 n·n4' nS∴S n＝2n·3 n－3 n＋1变式训练 4.已知等差数列{a n}的首项 a1＝1，公差 d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n}的第二项，第三项，第四项．⑴求数列{a n}与{b n}的通项公式；⑵设数列{c n}对任意正整数 n，均有 1321 nabcbc，求 c1＋c 2＋c 3＋…＋c 2007的值．解：⑴由题意得（a 1＋d）(a 1＋13d)＝(a 1＋4d) 2(d>0) 解得 d＝2，∴a n＝2n－1，b n＝3 n－1 ．⑵当 n＝1 时，c 1＝3 当 n≥2 时，∵ ,nna∴ )(3c 故 2206712207 3c  1．在 等比数列的求和公式中，当公比 q≠1 时，适用公式 Sn＝ qan1)(，且要注意 n表示项数；当 q＝1时，适用公式 Sn＝na 1；若 q的范围未确定时，应对 q＝1 和 q≠1 讨论求和．2．在等比数列中，若公比 q > 0且 q≠1 时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．归纳小结43．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为 x－d，x，x＋d， xd2)(再依题意列出方程求 x、d 即可．4．a 1与 q是等比数列{a n}中最活跃的两个基本量．。