apannr1rasapaqnnn1apaqarsnnn12aaannn11aafnannn12目录一、基本数列 .3 1.1 等差数列与差分.3 1.2 等比数列与商分.6 1.2.1 指数主导项型. 10 1.3 求和与裂项 . 13 1.3.1 裂项 . 15 1.3.2 P 级数 . 17 二、数列的性质. 21 3.1 差分 . 21 3.2 商分 . 25 3.3 数学归纳法 . 31 3.4 反证法 . 35 三、递推关系 . 39 3.1 二次型， . 39 3.2 打钩型. 48 3.3 根式型. 56 3.4 分式型. 63 3.5 幂级型. 68 四、重要不等式. 71 4.1 对数函数 . 71 4.2 三角函数 . 79 4.3 指数与二项式. 83 4.4 基本不等式 . 87 1cccnnnn2 242321241111117112nnnn222212111111nn22211n2cnnnnnnnnnn212222222212211121212nabnnn11nbn11bnn111b211bn1bbnn1111bbbnnn11abnn1aann211an2ncccn12724212ncaannbnbann1nnnaaanN1121()a112an1(1)andan1nnaad1(1)andan1nnaadandandanbbdnn1bbfaf aBnnnn,1aaf nnn1aadnn1一、基本数列1.1 等差数列与差分伪等差已知数列，若从第二项起，每一项与它的前一项的差都小于（或大于）同一个常数，则数列叫做伪等差数列，称为伪等差数列的公差。
伪等差数列具有性质：若，则；若，则. 1、已知数列满足，令. （1）求数列的通项公式；（2）令，求证：. 解： （1）因为，所以把带入得对上式两边取倒数得所以为首项，公差为的等差数列所以，从而（2）得到因为时，所以所以3nan2211,nnNa1121223n122,2,nannnNnaann21112(2)121nnnnaaaan111112(2)naa2122,nnNnaa11an1aannaann1110111aaannnan0nann2(2)2aaaannn11,211annnan2321n2aaannnnnn22221221311ann42aaannnn22211aaaannnn1222111aaaaaaaaannnnnn1,1,122212111221aann422anaaannn1021aaannn121nnan2321n2nNaaannn121a11an2、设数列满足，. 证明：当时，. 证明：因为所以，所以单调递增从而累加得所以又因为所以所以当时，. 3、数列满足：; 证明：解：由已知条件易知：，且， （*），因此，即数列是递减数列，故. 当时，. 又由（ *）知，利用累加可得：，即，经验证：当时，也成立 . 因此当时，. 4nnSn2S1211n1nnSn2Sannn22221112aaaaaaaannnnnnn22111112211n2aaaannnn111aaannn112nnSn2nnanSnaaaannnnn(2)112a211anaaddd()2161125ddd20125ddd4092016()125ddd40967504ddd5125dddd2016123504dddd123504i (1,2,504)daaiii1aaaannnn121a6a2017505a11aaannn212Nn*Snnan4、2017.4 杭州二模 已知数列的各项均为非负数，其前项的和为，且对任意，都有.若，求的最大值；解：由题意知，设，则，且，所以，5 、 2017绍 兴 柯 桥 22 （ 本 题 满 分15 分 ） 已 知 正 项 数 列满 足 ：，为数列的前项和求证：对任意正整数，有；证明：由题意得，所以所以时，所以，即当时，综上，5annn23211aannn24 2(1)(1)()( )1113 11112143an11a41131a41aann21(1)1111aann221111annN*a41aann221111ana qn11an1nnaaqa qn11an1nnaa0an0anqanq q(0)anbqbnn 1bfaf aBbnnnn,1aqapaqafnnnnn,11aqann11.2 等比数列与商分通项累加差分形式已知数列，若从第二项起，每一项与它的前一项的比都同一个常数，则数列叫做伪等比数列，称为伪等比数列的公比。
则伪等比数列具有性质：，且，若，则；若，则. 6、2016.5 义乌 已知数列满足且（）.求数列的通项公式；解：由得，由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列 . ，即6ann33313 13111111aaaaaaSnnn3311111 111121111aann31111aann311aaaannnn1311an0aaannn1012a211Sn3Sn1anaann13nnnaaaanN12,1112*anaann2211aann2211aannn21222221+.+111122111122-11aa222112112aannnnn222121221aannnnn2221-1-1-1aannnnn222111aaaannnn2211111nNnnaa112(2)nNaann 121an7、 （2016 年浙江卷理科第20 题）设数列满足，. ()证明：，；解： （1）利用三角形不等式得，变形为，再用累加法得即，进而可证8、2016 杭州一模 (本题满分15 分）设数列满足. （1）证明：；（2）设数列的前 n 项和为，证明：. 解： （1）因为，且，所以有条件得由（ 1）得，即所以7Snn22311Saaannnn222()1(1)331112212aabnnnn2122bbnnn2211121bb2112bbnn2121bbnn211bbnn21aabnnn2aaaaaaaannnnnnnn32222()1111112222Saaannnn222121111112ann211aannn2211111aa2112aann2121aann211aann21x(0,)yxx2aaaaaaaannnnnnnn3242(2)21111112222a2713a20aaaannnn2121322Snn12123nN*Snnanaann21nN*a2a11aaaannnn322121anaan16116511631122bbbaaaaaannn16161616331112122222221bann1632baaaaaaaaannnnnnnnnn16164403313111122aaaaaaannnnnnn411123bbban5122.baaannnn()11aaaaannn:(0,1), 0,1123an9、数列满足设求证：证明：因为所以所以10、 2006 浙江高考20 改编 正项数列满足，（）求的值；（）证明：对任意的，；（）记数列的前项和为，证明：对任意的，解： （）由及，所以（）由又因为在上递增，故（）由（）知，相乘得，即故另一方面，令，则于是， ， 相乘得， 即故综上，8n22115151312151n222151515121aaaaaaTnn11111111111212aaaannn11112115112211aaaannn2111151112aann1Tn3nNaaaaaaTnn1(1)(1)(1)(1).(1).11111212aaaaannn20,0,51121an11、 2008 浙江 数列，求证：当时，. 证明：因为，所以所以课9akkkkkkkkkk31(31)(31)(31)(31)2 3131()1131331111111aaaannnn3133322 31331111111111(1)111232akkk313111Tnnn244() 3333Tnnnnnnn13233333=33(13 )2311Tnnn3 1 32 33 332341Tnnn1 32 33 3323bnn3bnbbnn31aann13(1)1aannn32(1)1aannn32(2)1aSn nnn2()(2)1aSnnNnn2(1)()1*aa2,2(22)812aaaann22 31611111111123TnTnnnbnbnbann1aSnnNnn2(1)()1*a21anababannnnn()11abMkkkn()11aab1,0abaannnn11abMkkkn11aab1,0abaaba abaaannnnn1111111abMkkn11aab1,01.2.1 指数主导项型一般地：. 证明一般地：. 证明一般地：. 证明12、 2017 宁波一模 22 （本题满分15 分）已知数列满足，令. （）求证：是等比数列； （）记数列的前项和为，求；（）求证：. 解（），两式相减，得经检验，当n=1 时上式也成立，即.有即故是等比数列。
由（）得两式相减，得化简得；（）由得又10n1nn21551326511( )1321121231( )1111nbbbbbbnnn，时当32323251313 22( )111111 121122nnnnnnbbnn232322 ()113 2(2)32bnnan nn(1)a21annn(1)(2)1aannnn nn2223(1)112aannn42(1)2n21aa2,612aann1aaaannnn()()2211aaannn2221aaaaaaaannnnnnnn()2()()2()21212112aaaaiiii42()112Paaaaiiiii22(,)11a21aa42112Paa22(,)111bbbbbbnn32323265.111231122nbann+1aann1a1A0A PAiii21APPAiii1AA Piii1xA aini,01,2,.,nC yx y:02P x yPxyPxynnn,.,111222aaaann22 31611111111123nn22 31312162 3116()1311133111211nn22313131313131()()()1311111123341aaaan1111123有故14、2017 新高考研究卷 （本题满分15 分）如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，满足且（是坐标原点）. （1）求；（2）求证：数列是等差数列（3）设，求证：解： （1）在曲线 C 上，；（ 2）在曲线 C 上，两式相减得，即，所以，数列是等差数列；（ 3），,当时，不等式一定成立。
11Sn1321S651346212S5132211n3n659931346882212Saaaannn5133332422212334annnn221333112Snn53162n53162Snn553532222211annnnn222133353112211ann2113an11aann2111311aann2213111aaannn321a1342Snn531316221Snnanan1a2aanNannn3,21a521an13、 2017.1 湖州期末 22 (本小题满分15 分) 已知数列满足，（I）求；（II）求的通项公式；（III）设的前项的和为，求证：解： （I）由条件可知（ II）由得：，即所以是等比数列因此，（ III ）由（ II）可得所以因此，成立另一方面，, 又，因此，12n111223aSannn232232323(1)23SnnaannnkTkkkkk221(1)1(12)(32)1121112Snann 1121212kTkkkkk221(1)1(1)(2)1112nTann111nann1ann111an11aann111111aa annn 121aaannn111aaaann11211121aaaannn2a11211223aSannnSTTTnn12222nN12Ta aannanan1。