思维特训(一) 勾股定理与折叠问题方法点津 ·折叠是轴对称变换，折叠前后的对应线段及对应角相等，利用折叠的性质可将有关线段集中到直角三角形中用勾股定理来求解．典题精练 ·类型一 折叠直角三角形1．如图1－TX－1所示，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( )图1－TX－1A．1 cm B．1.5 cmC．2 cm D．3 cm2．如图1－TX－2所示，小明同学将一张直角三角形纸片(Rt△ABC)折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若已知AC＝10 cm，BC＝6 cm，你能求出CE的长吗？ 图1－TX－2类型二 折叠长方形3．如图1－TX－3所示，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将长方形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F处，则DF的长为________．图1－TX－34．如图1－TX－4所示，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在△BCD所在平面上的点F处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD＝3，BC＝4，求BE的长． 图1－TX－4类型三 折叠正方形5．如图1－TX－5所示，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，G是BC上一点，将△ABG沿AG折叠，点B恰好落在点F处．求BG的长． 图1－TX－5详解详析1．[导学号：34972321]A [解析] 因为∠ACB＝90°，所以AB2＝AC2＋BC2.因为AC＝4 cm，BC＝3 cm，所以AB2＝42＋32＝25，所以AB＝5 cm.由折叠的性质可知AE＝AB＝5 cm.因为AC＝4 cm，所以CE＝AE－AC＝5－4＝1(cm)，即CE的长为1 cm. 将图形进行折叠，折叠前后的两个图形全等，这是解决几何图形折叠问题的突破口．2．[导学号：34972322]解：连接BE，设CE＝x cm，则AE＝(10－x)cm.因为将直角三角形纸片(Rt△ABC)折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，所以DE是AB的垂直平分线，所以AE＝BE＝(10－x)cm.在Rt△BCE中，BE2＝CE2＋BC2，即(10－x)2＝x2＋62，解得x＝，即CE＝ cm.3．[导学号：34972323]64．[导学号：34972324]解：(1)证明：因为四边形ABCD是长方形，所以∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.根据折叠的性质得∠F＝∠A＝∠C＝90°，FB＝AB＝CD.在△DCE和△BFE中，因为∠DEC＝∠BEF，∠C＝∠F，CD＝FB，所以△DCE≌△BFE.(2)设BE＝x，则EC＝4－x，因为△DCE≌△BFE，所以EF＝EC＝4－x，FB＝CD＝3.在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2＝BF2＋EF2，即x2＝32＋(4－x)2，解得x＝，即BE＝.5．[导学号：34972325]解：由折叠的性质知△ABG≌△AFG，△ADE≌△AFE，所以BG＝FG，DE＝FE，∠AFG＝∠B＝90°，∠AFE＝∠D＝90°，所以∠AFG＋∠AFE＝180°，所以G，F，E三点共线．设BG＝FG＝x，则GC＝6－x.因为E为CD的中点，所以CE＝DE＝FE＝3，所以EG＝3＋x.在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，所以BG＝2.第 页。