三种情况下的闭口截面剪应力弯曲剪应力在过剪切中心Oi的横向力作用下，杆件任意截面处将发生弯矩M和剪力Q截面上的正应力将由弯矩M来确定图1表示一薄壁杆件（开口或闭口）微段dz，s为截面轮廓线的曲线坐标，以逆时针方向为正，A点为曲线坐标s的起始点假定壁厚：s与坐标z无关，只是曲线坐标s的函数I—4"•鶴首先，建立该微段的平衡方程,dz段上所受的各种内力，图中所示均为正方向O,Qy.:M=0,Qxx■z^My:z(1)MxLMyxIy(2)MxMylxy/ly2-Ixy/IxlyMyMxlxy/lx~2xy1-Ix//IxIy式中Mx、My称为“有效弯矩”由式（1）和式（3）可知，“有效剪力”与“有效弯矩”和剪力的关系为QyQx；MxQy-Qx1xy/1x2之1-Ixy/IxIyMyQx…Qylxy/ly=—2：Z1-Ixy/Ixly其次，讨论杆件中的剪应力在杆件上任一点Pz,s处取一单元dsdz（图2），考虑它的平衡来建立平衡微分方程式z:s由于S，与z无关，故上式可写成:Z-0(5)由此可解得S0zdsCiz:z(a)上式中的任意积分函数Ciz为截面曲线坐标起始点A处得剪力流二a这里采用了一个假定，即由于壁厚很小，弯曲剪应力沿壁厚均匀分布并沿轮廓线的切线方向作用，构成剪力流。
下面为了简便，直接计算剪力流，记作q—由式（2），有:z将上式代入式（a），并注意到式（4）的关系，得(6)二-二-—yI‘1yds-Q^lx0ly由于、ds二dF、yds=jydF=Sx00ssxds=xdF二Sy00其中Sx、Sy分别为截面上s点关于x轴与y轴的静面矩由式（6）可求得截面上的剪力流为(8)QyQxTTSxT?Sy当x、y为截面主轴时，Ixy=0，式（8）简化为Jx(9)在开口截面中由于可把自由边选作参考点A，因此「a=0在闭口截面中不存在自由边，式中二A为未知量，需利用其他条件求出A，才能最后确定任意点s处的剪力流二、自由扭转剪应力在一般情况下，薄壁杆件受扭后，杆件轮廓线上各点不仅在其平面内产生相对位移，而且出平面产生翘曲可以使杆件轮廓线上各点自由翘曲的扭转称作自由扭转或圣维南扭转图3所示的扭转属于自由扭转当杆件为等截面直杆时，各截面的翘曲变形u只是曲线坐标s的函数us，而与纵向坐标z无关；即各截面上同一点s的翘曲位移都相同纵向线应变.:z因而正应力匚z=0图3图4在小变形下，假定杆件外形轮廓在横截面内保持不变（不排斥在出平面方向的翘曲）对于具有任意截面的杆件（如图4所示），截面上有扭矩H作用，设扭转中心在Oi点，Oi可以任取。
由于杆壁很薄，假定自由扭转时剪应力沿壁厚均匀分布在扭矩H的作用下，截面上将产生剪力流由式（a）可知，当正应力匚z=0时，剪力流为常量，即q=s、s=const（10）由Mz=0，可得H-.s、sdsds（11）其中，s――扭转中心Oi到轮廓线上某点M的切线垂直距离将式（10）代入式（11），并注意到P（s）ds为图4中阴影部分微扇形面积的两倍，于是式（11）可以写成H=qI!〔sds=q"（12）其中fsds――外形轮廓线所围面积的两倍由式（12）可得q=H/「（13）窄长矩形截面薄壁杆件自由扭转由薄膜比拟求解得ow0:so有图5可见剪应力沿壁厚按现行规律分布在中面处x=0,.=0,最大值在边界上薄膜比拟不仅可以用来计算开口截面薄壁杆件的扭转，也适用于闭口截面当壁厚：很薄时，可以认为自由扭转时剪应力沿壁厚均匀分布三、约束扭转剪应力在杆件中面上M乙s点附近取一壳体微元dzds，如图5所示，由微元平衡条件可得由上式解出-wz,s，得式中Bz——闭口截面薄壁杆件的广义内力，双力矩Jw=w2dF——闭口截面的主扇性惯性矩将式（18）代入式（17），并注意到dF=6（sds•max=GJ.(15)(16)wz,s二-三ds「0z0&(17)其中0z是任意积分函数，其物理意义表示曲线坐标S=0点的剪应力二w乙S=-乎wsJw(18)B77\swz,s二----.wds0zJw0(19)如果壁厚沿外形轮廓线不变，则上式变为■w乙SSw■0zJw°(20)其中sSw二wds(21)0Mw二Bz二普dz于是式（20）变为(22)』Mwjwz,s-Sw■-0zJw®Mw称作闭口截面杆件的弯扭力矩，Sw称作截面的扇性静面矩。
由图6可以看出，闭口截面z上的扭矩应为(23)Lz「w乙siHsdF其中是由截面剪切中心到过外形轮廓线上某点Mz,s的切线的距离图6将式（22）代入式（23）得L(z)=q[―MwSw+s(zjP(s)dF=^0UHP(sds—^^qSwb尸(sjds(24)-Jw°一Jw二0z、「-皿.SwsdwJw上式中「，sds为截面外形轮廓线所围面积的两倍，dw='sds为ds所对应的微扇形面积的两倍，由式（24）可以得到0z_JM^.Swsdw(25)-■■■-Jw1'■-将式（25）代入式（22）得(26)-C/SwdwSws-Sws-—S.s称作换算静面矩，它始曲线坐标s的函数式（26）中第一项表示杆件自由扭转的剪应力，前面已经说明可以认为是沿截面厚度不变的第二项表示截面翘曲受到约束后对自由扭转剪应力的修正，不沿截面厚度变化所以闭口截面的约束剪应力也是沿截面厚度方向相等的参考书目《薄壁结构力学》。