§2.2 函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c答案 D解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.命题点2 解函数不等式典例 若f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )A．(8，＋∞) B．(8,9]C．[8,9] D．(0,8)答案 B解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，所以有解得80)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．答案 8解析 f(x)＝x|2x－a|＝(a>0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是，所以解得a＝8.(2)(2017·珠海模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f()>0的解集为________________．答案 解析 由题意知，f＝－f＝0，f(x)在(－∞，0)上也单调递增．∴f()＞f或f()＞f，∴＞或－＜＜0，解得0＜x＜或1＜x＜3.∴原不等式的解集为.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝ B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案 A解析。