矩阵分析,欢迎大家,,,,,其中,为,维输入变量，,n维状态向量，,为,矩阵理论的简单应用,一：矩阵性系统与多变量控制中的应用线性系统的状态空间性方程为,第一章 线性空间和线性映射,分别为,维输出向量，矩阵,为m,型矩阵且均为时间,t的函数矩阵定义：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常的其状态空间形方程为 考虑一个线性定常系统,,,定义：对于上述系统，如果从状态空间中的任意一点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的；否则，称该系统是不可控的定义：对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维零下的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的;否则，称该系统是不可观测的我们首先以单输入单输出系统为例 考虑系统下面的单输入单输出系统：,其中 b 和 是 n维矢量， A是 矩阵，,U及 Y是标量定理： 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要,条件是可控性判别矩阵,,是可逆（非奇异）矩阵。
例 1：设,由于矩阵,,是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的例 2：设,由于矩阵,,,是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的定理： 上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要,条件是可观测性判别矩阵,是可逆（非奇异）矩阵例 3：设,由于矩阵,是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的例 4：设,由于矩阵,是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可观测的我们再以多输入多输出系统为例 考虑系统下面的多输入多输出系统：,定理： 上面的多输入多输出系统是可控制的充分必要,条件是可控制性判别矩阵,是行满秩的该系统是可观测的充分必要条件是可观测,性判别矩阵,是列满秩的由于矩阵,是行满秩的，所以相应的系统是可控制的例 5：设,二 矩阵理论在生物数学中的应用,在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式几乎所有花，其花瓣数都是一种有规律的级数例如百合花的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存在此种现象这就是著名的Fibonacci级数模式。
我们称下面的数列为Fibonacci级数它满足下述递推公式：,以及初始条件： 试求该数列的通项公式，并且求出极限,解：设,因为 ，所以,令,那么我们有,于是我们为了求Fibonacci数列的通项公式只需求出,即可，我们利用 的相似标准形来化简 的计算的特征多项式为 ， 它的两个特征根为：,由此可以看出 可以对角化解齐次线性方程组,可以得到它的一个基础解系：,同理可得,一个基础解系是,令,那么,从而,由递推公式以及初始条件可得,比较上式的第二个分量得,这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容易计算出：,这个数在最优化中有重要的应用，在最优化中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法第一节 线性空间,一： 线性空间的定义与例子,定义 设 是一个非空的集合， 是一个数域，在集和 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律：,（1） 加法交换律,（2） 加法结合律,（3） 零元素 在 中存在一个元素 ，使得对于任意的 都有,（4） 负元素 对于 中的任意元素 都存在一个元素 使得,（5）,（6）,（7）,（8）,称这样的 为数域 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的线性空间例 2 复数域 上的全体 型矩阵构成的集合 为 上的线性空间例 3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项式集合 构成实数域 上的线性空间,例 4 全体正的实数 在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：,例 5 表示实数域 上的全体无限序列组成的的集合即,在 中定义加法与数乘： 则 为实数域 上的一个线性空间例 6 在 中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成 上的线性空间Cauchy条件是： 使得对于 都有,例7 在 中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合不构成 上的线性空间。
Hilbert条件是：级数 收敛例8 在 中有界的无限序列组成的子集也构成 上的线性空间一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数 ， 使得,二： 线性空间的基本概念及其性质,定义: 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同例 1 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数例 2 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。
例 3 实数域 上的线性空间 中，函数组也是线性无关的例 4 实数域 上的线性空间空间 中，函数组与函数组都是线性相关的函数组线性空间的基底，维数与坐标变换,定义 设 为数域 上的一个线性空间如果在 中存在 个线性无关的向量 使得 中的任意一个向量 都可以由 线性表出则称 为 的一个基底；为向量 在基底 下的坐标此时我们称 为一个 维线性空间，记为 例 1 实数域 上的线性空间 中向量组与向量组,都是 的基 是3维线性空间例 2 实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组 都是 的基。
是4维线性空间例 3 实数域 上的线性空间 中的向量组,与向量组都是 的基底 的维数为 注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间目前，我们主要讨论有限维的线性空间例 4 在4维线性空间 中，向量组,与向量组是其两组基，求向量 在这两组基下的坐标解：设向量 在第一组基下的坐标为,于是可得 解得同样可解出在第二组基下的坐标为,由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的基变换与坐标变换设 （旧的）与 （新的）是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为,将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称 阶方阵,是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成定理：过渡矩阵 是可逆的。
任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 与 ，那么我们有：称上式为坐标变换公式例 1 在4维线性空间 中，向量组,,与向量组,为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，并求向量 在这两组基下的坐标解：容易计算出下面的矩阵表达式,向量 第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为,例 2 教材13页例1.2.6 线性空间的子空间定义 设 为数域 上的一个 维线性空间， 为 的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的 都有那么我们称 为 的一个子空间。
例 1 对于任意一个有限维线性空间 ，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间,以及线性空间 本身例 2 设 ，那么线性方程组 的全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数例 3 设 为 维线性空间 中的一组向量，那么非空子集合,。