1,本章重点,线性系统微分方程的建立； 运用拉氏变换法求解线性微分方程； 传递函数的概念和性质； 传递函数和微分方程之间的关系； 结构图的绘制及其等效变换； 结构图和信号流图的关系； 梅逊公式2,本章难点,运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程； (2) 建立系统的结构图或信号流图； (3) 结构图和信号流图等效变换的灵活运用； (4) 建立系统的动态方程3,第二章 线性系统的数学模型,物理模型— 理想化的物理系统 数学模型— 物理模型的数学描述,建模——建立起比较简单又能反映实际物理过程的模型建模的线性化问题,两种基本方法：机理分析法和实验辨识法4,§2.1 线性系统的输入—输出时间函数描述,§2.2 线性系统的输入—输出传递函数描述,§2.3 典型环节的数学模型,§2.4 控制系统的结构图及其等效变换,§2.5 自动控制系统的传递函数,第二章 线性系统的数学模型,5,第二章 线性系统的数学模型,§2.1 线性系统的输入—输出时间函数描述,系统的输入—输出描述：是一种外部描述，目的在于通过该数学模型确定被控制量与给定量或扰动量之间的关系 一、列写微分方程法（机理分析法）,1. 线性元件的微分方程,(1) 确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些中间变量。
(2) 根据物理或化学定律，列出微分方程 (3) 消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关系的微分方程（标准形式）6,第二章 线性系统的数学模型,例2.1 弹簧阻尼系统,,,,,f — 粘滞摩擦系数,k— 弹簧系数,v— 物体相对的移动速度,7,例2.1 机械传递系统,xa和xb作为网络的结点在每一个节点上，力的和等于零综合两个方程可以得到：,,,,“D”表示微分算子,,第二章 线性系统的数学模型,8,第二章 线性系统的数学模型,,,,G＝G1G2,9,第二章 线性系统的数学模型,例2-2 机械旋转系统,,,,,f — 粘滞摩擦系数,k— 弹性扭转变形系数,10,第二章 线性系统的数学模型,例2-3电阻、电感、电容串联网络,,,,,,11,第二章 线性系统的数学模型,例2-4 直流他激电动机带动负载,设激磁电流恒定并忽略电枢反应 ω为转速，Ua为电枢电压，Mc为负载 1) 电枢回路的电势平衡方程为：,,2)电动机的反电势方程为,,Ce为电动机的电势常数，单位为v·s／rad3)电动机的电磁转矩方程为,,Cm为电动机的转矩常数，单位为Nm／A12,第二章 线性系统的数学模型,4)电动机轴上的动力学方程为,,J为转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量，其单位为N·m·s2。
消去ea、ia、M三个中间变量，可以得到描述输出量ω， 输入量ua及扰动量M之间的关系的微分方程为：,,,电机的电磁时间常数,,电机的机械时间常数,,,电压传递系数,转矩传递系数,13,第二章 线性系统的数学模型,通常电枢的电感La很小，所以电磁时间常数可以忽略不计，于是电动机的微分方程可以简化为：,,如果取电动机的转角作为输出，则上式可改写为,,2 微分方程的增量化表示,若电动机处于平衡状态，各阶导数均等于零，微分方程可以变为下面的代数方程：,表示平衡状态下的输入量和输出量的关系，称为静态方程，表示了电机的控制特性和机械特性14,第二章 线性系统的数学模型,电动机在平衡状态附近运行的变量可以表示为：,,将上面变量代回到简化的微分方程中，并考虑平衡状态的变量关系,可以得到,,这是电动机的微分方程在平衡状态附近的增量化表示式15,第二章 线性系统的数学模型,3 非线性方程的线性化,非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型在一定工作范围内进行线性化处理将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项例：直流发电机,X轴表示励磁电流,Y轴表示输出电势,由于存在磁路饱和，y和x呈非线性关系,y=f(x),可以在(x0,y0)附近泰勒级数,16,第二章 线性系统的数学模型,,,,,忽略高次项，然后用增量表示,是比例常数。
经上述处理后，就变成了线性方程17,第二章 线性系统的数学模型,对于具有两个自变量的非线性函数,,在静态工作点y0=(x10,x20)附近展成泰勒级数用增量表示,及,是比例常数18,第二章 线性系统的数学模型,上述方法称为小偏差线性化方法它是基于这样一种假设：输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化 几点注意：,(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的（非本质非线性） (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内变化 (3)不同静态工作点得到的方程是不同的 (4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理 (5)线性化后得到的是增量微分方程19,第二章 线性系统的数学模型,,,二、脉冲响应法（实验辩识法）,描述线性定常系统的微分方程为：,实验辨识方法的理论依据 ：,C(t)=H(t)r(t),假设线性系统是定常的，初始条件为零或初始状态为零 ，其响应和输入之间满足齐次和线性关系 ，即：,20,第二章 线性系统的数学模型,给定输入是单位脉冲函数时实验辨识基本原理,脉冲函数的表达式为：,,A为脉冲面积或脉冲强度。
脉冲强度A=1时的脉冲函数记为,，令,并求取极限，则称为单位脉冲函数,令,,,,21,第二章 线性系统的数学模型,零初始条件的线性定常系统的输入δ(t)，得到的输出称为系统的单位脉冲响应，也称为权函数，记作g(t)22,第二章 线性系统的数学模型,§2.2 线性系统的输入—输出传递函数描述,为什么采用传递函数来描述？,微分方程描述不直观、求解困难线性常微分方程经过拉氏变换，即可得到系统在复数域中的数学模型，称之为传递函数将单位脉冲响应g(t)的曲线转换成相应的传递函数表示其输入输出关系23,第二章 线性系统的数学模型,,R(s)输入r(t)的像函数，即输入函数的拉氏变换； C(s)输出c(t)的像函数，即输出函数的拉氏变换传递函数——初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比也称为频（率）域描述几点说明：,只适用于线性定常系统 是系统的动态数学模型 分母的阶数一定高于分子的阶数 为什么？）,有惯性元件和受到功率的限制,24,第二章 线性系统的数学模型,客观物理世界的基本属性，它反映了一个基本事实：一个物理系统的输出不能完全复现输入信号，只有经过一定的时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。
一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系单输入-单输出系统，若多输入多输出要采用传递函数矩阵 传递函数可以表示成有理分式，也可以表示成零极点表示的形式也可以表示成时间常数的形式,,K值具有量纲也称为传递系数,25,第二章 线性系统的数学模型,7. 分子分母的系数都是实数，所以如果有复数零极点则必为共轭复数式中,，,,26,第二章 线性系统的数学模型,复习－拉氏变换（Laplace transform）,拉氏变换的定义,,t0时f(t)=0,2. 几个简单的函数的拉氏变换,单位阶跃,,,指数函数,27,第二章 线性系统的数学模型,余弦函数,,,,28,第二章 线性系统的数学模型,单位斜坡函数,,,3. 拉氏变换的一些性质,线性性质,,叠加性质,,29,第二章 线性系统的数学模型,延迟性质,,像函数（复域）的微分,,相似定理,,本函数（时域）的微分,,30,第二章 线性系统的数学模型,例：,,,复域延迟性质,,例：已知,,,31,第二章 线性系统的数学模型,终值定理：,,有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的，且要sF(s)在虚轴（除原点） 和右半平面上没有极点初值定理：,,卷积定理：,已知函数f(t)和g(t)，其卷积定义为,,,32,第二章 线性系统的数学模型,3. 拉氏反变换,,求本函数,（1）部分分式分解法,,,极点的几种情形：都是一阶实极点。
33,,第二章 线性系统的数学模型,例：,,,,已知：,计算f(t),重的一阶实极点,,,,34,第二章 线性系统的数学模型,含有共轭极点2. 留数方法（略）,35,第二章 线性系统的数学模型,例：直流电动机传递函数,电枢电势平衡方程：,,,反电势方程：,电磁转矩方程,,电机轴上转矩平衡方程,,当Mc(s)=0时,,－机电时间常数,－电磁时间常数,忽略Ta,36,第二章 线性系统的数学模型,直流电动机动态方框图,当Mc(s)=0时,,,,,37,例：直流电动机转速闭环控制系统,第二章 线性系统的数学模型,38,第二章 线性系统的数学模型,直流电机传函,,对放大器,,,对测速机,,闭环系统的传递函数,39,第二章 线性系统的数学模型,用复数阻抗法求电网络的传递函数,电阻,,,,,,,,,,,,,40,第二章 线性系统的数学模型,,,,B点为虚地,,,,,,,例：比例积分控制器,41,第二章 线性系统的数学模型,,,例：比例微分控制器,,静态放大系数,,42,第二章 线性系统的数学模型,§2.3 典型环节的数学模型,典型环节：运动规律相同，具有相同的数学模型 一、比例环节,,,K称为比例系数或放大系数，有时也称为环节的增益。
二、惯性环节,,,τ－时间常数，K－比例系数,输出量不能立即跟随输入量变化存在时间上的延迟可以用τ来量度43,第二章 线性系统的数学模型,对惯性环节输入单位阶跃信号并且具有零初始条件时，其输出量y(t)为：,,,,44,第二章 线性系统的数学模型,三、积分环节 积分环节的动态方程为,,,,积分环节在单位阶跃输入下的响应,K－比例系数，T－积分时间常数45,第二章 线性系统的数学模型,四、微分环节,,，,τ—时间常数纯微分,一阶微分,,二阶微分,46,第二章 线性系统的数学模型,输入是单位阶跃响应，即r(t)=1(t)，则输出的单位阶跃响应为：,,几个实际微分的例子,,,RC串联电路,,τ＝RC —时间常数,47,第二章 线性系统的数学模型,,,,,,,,实际的比例微分电路,48,第二章 线性系统的数学模型,五 振荡环节,弹簧阻尼系统的传递函数为：,,机械旋转系统的传递函数为：,,RLC电路的传递函数为：,,,,振荡环节的微分方程为,传递函数为：,49,第二章 线性系统的数学模型,设0ζ1，K=1,输入信号r(t)=1(t)，R(s)=1/s，求阶跃响应令,,无阻尼自然振荡频率,,,,阻尼自然振荡频率,50,第二章 线性系统的数学模型,,,,如果令,51,振荡环节的单位阶跃响应,第二章 线性系统的数学模型,52,第二章 线性系统的数学模型,六、纯滞后环节,输出信号比输入信号迟后一段时间。
c(t)=r(t-τ),,τ－滞后时间常数得到传递函数,,53,§2-4 控制系统的结构图及其等效变换,第二章 线性系统的数学模型,一、结构图的基本概念,把方块图和传递函数结合起来称为动态结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形两种图形研究方法：方框图和信号流程图方法结构图给出了信息传递的方向又给出了输入输出的定量关系即C(s)=R(s)G(s)54,第二章 线性系统的数学模型,二、结构图的组成和建立,由四种基本图形符号组成1）函数方块,(2)信号线,(3)分支点(引出点),（4)综合点(比较点或相加点),55,2．系统结构图的建立,,,,,56,第二章 线性系统的数学模型,三、结构图的等效变换,常用的结构图变换方法有二： 一是环节的合并，二是信号分支点或相加点的移动原则是：变换前、后的数学关系(输入量、输出量）保持不变1.环节的串联,,,,,,忽略负载效应,57,,例：,左图并不是两个惯性环节串联 其传递函数为,,如果忽略负载效应58,2.环节的并联,,,,,,。