第一章作业 1. 如用两种测量方法测量某零件的长度 110mm ，其测量误差分别为 和 L1 11 m 9 m ，而用第三种测量方法测量另一零件的长度为 L 2 150mm ，其测量误差为 12 m ，试比较三种测量方法精度的高低； 解：对于 L1 110mm： 3 11 10 第一种方法的相对误差为： r1 0.01% 110 3 9 10 110 其次种方法的相对误差为： r2 0.0082% 对于 L 150mm： 2 3 12 10 第三种方法的相对误差为： r3 0.008% 150 由于 r r r ，故第三种方法的测量精度高； 1 2 3 2. 用两种方法测量 L 1 50mm， L 2 80mm；分别测得 ；试评定 两种方法测量精度的高低； 解：因被测量不同，故用相对误差的大小来评定其两种测量方法之精度高低；相对误差 小者，其测量精度高； 50 80 50 第一种方法的相对误差为： r1 0.00008 0.008% 80 其次种方法的相对误差为： r2 0.0075% 由于 r1 r2 ，故其次种方法的测量精度高； 3. 如某一被测件和标准器进行比对的结果为 D ，现要求测量的正确度，精 密度及精确度均高，下述哪一种方法测量结果符合要求？ A. D1 B. D 2 C. D 3 D. D 4 解： D 第 1 页，共 17 页 第三章作业 1. 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位 mA）为 ， ， ；试求算术平均值及其标准差（贝塞尔公式法，极差法，最大误差法和别捷尔 斯法），或然误差和平均误差？ 解：（1）算术平均值为： 1 n 1 5 x xi xi （2）标准差的运算： 1 n 1 (x x)2 贝塞尔公式 s i 极差法 由测量数据可知： x x 1 6 8. 4 0 max m i n n xmax xmin 5 d5 通过查表可知， d5 ，所以标准差为： s 最大误差法 由于真值未知，所以应当是用最大残差法估算，那么最大残差为： vi v3 max v3 k5 1 k5 查表可得： s 0.0 7 5 n vi i 1 n( n 别捷尔斯法 s 0 0.0.0 9 7 3 4 1) 2 s 3 4 s 2 3 4 5 （3）或然误差 （4）平均误差 5 2. 用某仪器测量工件尺寸， 已知该仪器的标准差 ，如要求测量的答应极限 误差不超过 ，假设测量误差听从正态分布，当置信概率 P 时，应 该测量多少次？ 解：由测量误差听从正态分布，置信概率 P ，知其置信系数为 k 第 2 页，共 17 页 2 x k k n 1 . 7 2 x x x x n x 3. 应用基本尺寸为 30mm 的 3 等量块，检定立式测长仪的示值稳固性，在一次调整下 做了 9 次重复测量， 测得数据（单位：mm）为：， ， ，如测量值听从正态分布，试确定该 仪器的示值稳固性； 1 n 1 9 解：算术平均值为： x x x i i 1 2 x) 标准差为： s (x i n 1 s n 9 sx 极限误差为 k sx x 测量结果为： 4. 测定某玻璃棱镜的折射系数，测得数据为 ， ， ，；如测得数据的权为 平均值及其标准差； 1，2， 3，3，1，1，3，3，2，1 时，试求算术 i xi 解： x i x ) 2 i (x i i 1 s n 5. 某量的 10 个测得值的平均值为 ，标准差为 ；同一量的 20 个测得值的平均值 为 ，标准差为 ；当权分别为正比于测得值个数和反比于标准差的平方 时，试求该被测量的平均值及其标准差； 解： （1）权为正比于测得值个数时 1 : 10: 20 1: 2 2 1 2 1 2 2 i xi i ( xi 1 x ) x s n i i 测量结果： 第 3 页，共 17 页 （2）反比于标准差的平方 1 2 1 1 2 2 1 1 : : : 25: 64 1 2 2 2 0.08 64 25 1 2 2 i xi i ( xi 1 x ) x s n i i 测量结果： 第四章作业 1. 对某量进行了 12 次测量，测得数据为 ， ， ， ，试用马利科夫判据，阿贝 准就二和准就三判定该测量列中是否存在系统误差？ 解： -赫梅尼判据， 2 测量值 xi vi vi vi Si Si Si 序号 Si vi 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 4E-06 12 xi i 1 12 算术平均值： x 12 2 xi n x i 1 标准差 s 1 第 4 页，共 17 页 用马利科夫判据判定 6 1 2 xi i 7 由于 n 12 ，所以 k 6 xi i 1 由于 显著不为零，所以判定测量列中含有线性变化的系统误差； 用阿贝赫梅尼判据判定 12 2 2 u vi vi 9s 3 1 i 1 2 9s ，所以判定测量列中含有周期性系统误差； 由于 u 准就二 n 1 2 n 1 6. 6 0 W Si Si 5 1 i 1 由于 W 2 n 1，故无依据判定测量列中含有系统误差； 准就三 n 2 2 3ns2 30 2 2 K S v i i i 1 2 3ns ，故无依据判定测量列中含有系统误差； 由于 K 2 2. 对某量进行 10 次测量，测得数据为 ，15.0, 15.2, 14.8, 15.5, 14.6, 14.9, 14.8, 15.1, 15.0,试判定该测量列中是否存在系统误差？ 解：序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 测量值 x v vi vi Si Si Si Sv 1 1 i i i i -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 第 5 页，共 17 页 10 10 2 xi x xi i 1 10 i 1 算术平均值： 标准差 s x n 1 用马利科夫判据判定 由于 n 10 ，所以 k 5 5 10 xi xi i 1 i 6 由于 显著不为零，所以判定测量列中含有线性变化的系统误差； 用阿贝赫梅尼判据判定 10 2 2 u vivi 9s 3 1 i 1 2 9s ，所以判定测量列中含有周期性系统误差； 由于 u 准就二 n 1 2 n 1 6 W Si Si 1 1 i 1 由于 W 2 n 1，故无依据判定测量列中含有系统误差； 准就三 n 2 2 3ns 2 30 2 2 K S v i i i 1 2 3ns ，故无依据判定测量列中含有系统误差； 由于 K 2 3. 等精度测量某一电压 10 次，测得结果（单位 V ）为 ， ， ， ，；测量完毕后，发觉测量装置有接触松动现象， 为判定是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了 10 次等精度 测量，测得结果（单位 V）为 ， ， ， ， ；试用准就 有系统误差？ 4 和 t 检验法（ ）判定两组测量值之间是否 解： （1）准就四 xi x j 2 i 2 j 2 2 2 j 2 i xi x j 2 故无依据怀疑两组均值之间存在系统误差； 第 6 页，共 17 页 （2）t 检验法 2 xi n x 1 1 n s2 甲组的平均值为： 甲组的标准差为： x x i 1 2 yi n y 1 n s2 乙组的平均值为： 乙组的标准差为： y y i 2 1 nxny (nx ny 2) 10 10 18 10 = t ( x y) 2 2 (nx ny )( nx Sx 1 8 ny Sy ) (10 10)(10 0.0024) 1 0 1 0 2 依据自由度 和显著性水平 ，挑选 ； t (18) 由于 t t (18) ，所以无依据怀疑两组均值之间存在系统误差； 4. 对某量进行了两组测量，测得数据如下： xi y j 试用准就四和 t 检验法判定两组间是否有系统误差？ 解： （1）准就四 xi x j 2 i 2 j 2 2 2 i 2 j xi x j 2 故无依据怀疑两组均值之间存在系统误差； （2）t 检验法 2 xi n x 1 1 n 2 s 甲组的平均值为： 甲组的标准差为： x x i 1 2 yi n y 1 n 2 乙组的平均值为： 乙组的标准差为： s y y i 2 1 nxny (nx ny 2) 8 10 16 10 = t ( x y) 2 2 (nx 2 ny )( nx Sx 1 6 ny Sy ) (8 10)(8 0.161) 8 1 0 依据自由度 和显著性水平 ，挑选 ； t (16) 由于 t t (16) ，所以可以肯定两组均值之间不存在系统误差； 第 7 页，共 17 页 第五章作业 1. 测定水的汽化热共 20 次，测定结果（单位： J）为 ， ， ， ，；试用莱伊达准就，格拉布斯准就， 狄克逊准就分别判定该测量列中是否含有粗大误差数据，并给出测量结果； 解： 排序后的 残差 排序 x(i ) 序号 xi vi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 n x x i 1 2 s (xi x) n 1 （1）3 准就 由于 3s ，全部 3s，不含有粗差，都予以保留； vi 第 8 页，共 17 页 （2）格拉布斯（ Grubbs）准就 对给定的测量值排序，选定显著性水平 0.05 ，查表得 G(0.05,20) x x 1 s x 20 x g 1 g 20 s 由于 g g ，先判定 x ；又由于 g ，不含有粗差，都予以保留； 1 20 1 1 （3）狄克逊（ Dixon）准就 由于 n 20 ，故用 r22 , r22 判定；查表得 r , n r 0.05,20 x x 20 x 18 x 1 x 1 x 3 r22 r22 x 3 x 18 20 由于 r22 r22 ， r22 r 0.05,15 ，不含有粗差，应当保留； 2. 对某量进行 15 次测量测得数据为 28.53, 28.52, 28.50, 28.52, 28.53, 28.53, 28.50, 28.49, 28.49, 28.51, 28.53, 28.52, 28.49, 28.40, 28.50, 如这些测得值已经 排除系统误差，试用莱以特准就，罗曼诺夫斯基准就，格罗布斯准就和狄克松准就 分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值？ 解：序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 排序后的 残差 排序 x(i ) xi vi vi 第 9 页，共 17 页 n 2 vi i 1 n x s 0 . 0 3 3 1 （1）3 准就 由于 3s ，只有 v14 3s ，故 含有粗差，应将其剔除； 再将剩下的 14 个测得值重新运算，得： n 1 2 vi i 1 n x s 0. 0 1 6 3s 0 . 0 4 8 2 因此剩下的 14 个不再含有粗差，都予以保留； （2）格拉布斯（ Grubbs）准就 对给定的测量值排序，选定显著性水平 0.05 ，查表得 G(0.05,15) x x 1 s x 15 x g 1 g 15 s 由于 g g ，先判定 x ；又由于 g ，所以 含有粗差，应当剔除； 1 15 1 1 剩下的 14 个数据，重复上述步骤， G(0.05,14) ； n 1 2 v i i 1 n x s 2 x x 1 x 14 x g 1 g 14 s s 由于 g 14 都予以保留； （3）狄克逊（ g 1 ，先判定 x 1 ；又由于 g 1 ，因此剩下的 14 个不再含有粗差， Dixon）准就 由于 n 15 ，故用 r22 , r22 判定； 选定显著性水平 ，查表得 r , n r 0.05,15 运算： x 15 x 1 x 1 x x 13 3 r22 r22 0 x 13 。