第 50 讲 角的向量解法(B版教材.可选)

第 50 讲 角的向量解法（B）（第课时）角的向量解法 求 面 面 夹 角求 线 面 夹 角求 线 线 夹 角用空 间 向 量 夹 角 公 式 的 应 标 系建 立 合 适 的 空 间 直 角 坐重点：1．空间向量的数量积的定义及其应用；2．向量坐标运算的应用难点：1．选择合适的空间坐标系；2．正确计算相关点的坐标1．掌握空间向量的坐标运算；2．会用数量积求线线、线面和面面夹角立几教材有两种版本，本讲内容属 B 种本，两种教材在高考中的题目没有区别，求空间角是常考内容1．求两异面直线夹角因为规定两异面直线夹角的取值范围是 （0， ） ，因此在利用公式 cos= 2ab求夹角时，如果算出其分子 a•b 为负值，则应取其绝对值，使求出的角为锐角例．如图，BC=2，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标为 （ ） ，点 D 在平面0,213yoz 上，且 ∠BDC=90 °，∠DCB =30°1）求向量 的坐标；CD（2）求异面直线 AD 与 BC 所成角的大小解：过 D 作 DE⊥BC 于 E，则 DE=CDsin30°= ，OE=OB-23BDcos60°= ，∴ D 的坐标为 （ ） ，21,210又∵ ，∴ =（ ） ；)0,(C3,神经网络 准确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！（2）依题设有 A 点坐标为 A（ ） ，∴ =（ ） ， 0,213AD23,1)0,2(BC，∴ ，5||,cosBCD故异面直线 AD 与 BC 所成角为 。

10arcos2．求线面夹角线面夹角分线面平行（或在平面内） 、线面垂直和线面斜交三种情况，线面夹角的取值范围是 [0， ]，求线面夹角2时，要先找出或作出角，再证明其确为所求的角，最后求角常用的公式：如图， 平面 ， = ，PABC，则 PBCcoscscos例（2003 年春季高考上海理科题） ．如图，已知正三棱柱 - ，在某个空间直AB1角坐标系中， ， ， ，其中 、 ，)0,23,(m)0,(C),0(1nm0n，求直线 与平面 所成角的大小nm21A1B解：取 中点 ，连接 、 ，BOA∵ ，平面 平面 ，C1∴ 平面 ，1则 为直线 与平面 所成的角，11在 中， ， ，RtAm232nmCA∴ ，∴ sin21nCO451O3．求面面夹角求面面夹角时，要先找出或作出平面角，再证明其确为所求的角，最后求角例（1998 年高考理科题）. 如图，已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1，侧面 A1ACC1⊥底面 ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC= 且 AA1⊥A 1C，AA 1=A1C23（1）求侧棱 AA1 与底面 ABC 所成角的大小；（2）求侧面 ABB1A1 与底面 ABC 所成二面角的大小； 解 （1）由侧面 A1ACC1⊥底面 ABC，作 A1D⊥AC 于 D，则∠A 1AC就是 AA1 与底面 ABC 所成的角，易求得∠A 1AC=45°。

2）建立如图所示的坐标系，则 ，AB()()()03263031， ， ， ， ， ， ， ，CBAPoC1B1A1CBAyxzoC1B1A1CBA 则 AAB10326340()()， ， ， ， ，又 平面 ABC 的法向量为 ，n10)， ，设平面 ABB1A1 的法向量为 xyz2(， ，因为 nBxyz2 6340·， ， ， ，())63所以 xy①因为 nAxz2103， ， ， ，()()，所以 yz②结合①、②，并令 ，得 ，y21，所以 n21()， ，设平面 ABB1A1 与平面 ABC 所成的二面角为 ，则 ， cos||n12·60°LJ 03 05 角的向量解法 1 2 3 4线线夹角 √ √线面夹角 √面面夹角 √1．已知 a、b 为异面直线，A，B∈a，C ，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且 AB=2，CD=1，则 a与 b 所成的角是 （ ）A．30° B．45° C．60° D．90°答案： 。

2．如图，已知四面体 O—ABC 中，E、F 分别为 AB，OC 上的点，且 AE= ，F 为中AB31点，若 AB=3，BC=1，BO=2，且∠ABC =90°，∠OBA=∠ OBC=60°，求异面直线 OE 与 BF 所成的角的大小解：∵ ，27|BF能力测试 认真完成！参考答案 仔细核对！ ，即 ，434||94| 222 BOABAOE 2|OE又 )2|(1 BCF)42，1473||,cos OEBF故异面直线 OE 与 BF 所成的角为 arcos3．正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 a2(1)建立适当的坐标系，并写出 A、B、A 1、C 1 的坐标；(2)求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角解：(1)以点 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 Oy 轴，以 AA1 所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系，由已知，得 A (0，0，0） ，B (0，a，0）,A 1 (0，0， a)， C1 (－ ， ， a) ，2232(2)取 A1B1 的中点 M，于是有 M(0， ， ） ，2连 AM，MC 1 ，有 = (－ a，0，0） ，且 = (0，a，0） ， = (0，0， a) ，1C3B1A2由于 · =0， · =0，所以 MC1⊥面 ABB1A1，1A∴ AC 1 与 AM 所成的角就是 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角，∵ = ，∴ ，A)2,0(),2,3( aa aa4920， ，C34||1而 324||∴ ，29,cos1aAM所以 所成的角，即 AC1与侧面 ABB1A1所成的角，为 30°。

C与14．如图，以正四棱锥 底面中心建立坐标系 ，其中 ∥ ， ∥BCDVxyzOxBCOy， 为 中点，正四棱锥底面为 ，高为 ABEa2h⑴ 求 cos ；E⑵ 记面 为 ，面 为 ，若 是二面角E- - 的平面角，求 VC分析：⑴ 由题意知 ， ，)0,(aB)0,(aC， ，)0,(aD)2,(ha∴ ， ，,3BE)2,3(hDE Ez yxD CBAV· = ，BED423)(23()23( hahaa，10)cos= ；2106haDEB⑵ ∵ 是二面角 - - 的平面角，则 ，则 · ，VCBECVBE0V又由 ， ，有 ，)0,(aC),( ),(ha又 ，∴ · ，解之得 ，23hE 0232ah2∴ cos ，BD1)(10610622aa∴ E3rcos)3rcos(。