4ac -b 2二 次 函 数 的 最 值 问 题 举 例 （ 附 练 习 、 答 案 ）二次函数 y =ax2+bx +c ( a ¹0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x取任意实数时的最值情况 ( 当a >0时，函数在 x =-b2a处取得最小值 ，无最大值；当 a <0 时，函数在 x =-4ab2a处取得最大值4ac -b4a2，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例 1】当 -2 £x £2时，求函数 y =x2-2 x -3的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x的值．解：作出函数的图象．当 x =1时，ymin=-4，当 x =-2时，ymax=5．【例 2】当1 £x £2时，求函数 y =-x2 -x +1的最大值和最小值．解 ： 作 出函 数 的 图 象 ． 当 x =1 时 ， ymin=-1 ， 当 x =2 时 ，ymax．=-5由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的 最小值．1 5根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 面给出一些常见情况：的范围的图象形状各异．下【例 3】当 x ³0时，求函数 y =-x(2 -x )的取值范围．解：作出函数 y =-x(2 -x ) =x2-2 x在 x ³0内的图象．可以看出：当 x =1时， ymin=-1，无最大值．所以，当 x ³0时，函数的取值范围是 y ³-1．【例 4】当 t £x £t +1时，求函数 y = x 2 -x -2 2的最小值(其中 t为常数)．分析：由于 x相对位置．所给的范围随着 t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的1 5解：函数 y =的对称轴为 x =1 ．画出其草图． x 2 -x -2 2(1) 当对称轴在所给范围左侧．即 t >1 时： 当 x =t 时， ymin=1 5 t 2 -t -2 2；(2) 当对称轴在所给范围之间．即 t £1 £t +1 Þ 0 £t £1时：当 x =1 时， ymin=1 5´12 -1 - =-3 2 2；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 t +1 <1 Þ t <0时：当 x =t +1时， ymin1= (t +1)2 2-(t +1) -5 1= t2 22-3．ïïïì1t 2 -3, t <02综上所述： y =í-3,0 £t £11 5ï t 2 -t - , t >1î2 2在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 m (件)与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m =162 -3 x ,30 £x £54．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最 大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x -30)元，那么 m件的销售利润为 y =m( x -30)，又 m =162 -3 x．(2) 由(1)知对称轴为 x =42 ，位于 x的范围内，另抛物线开口向下\当 x=42时， ymax=-3´422+252 ´42 -4860 =432\当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432 元．A组1 ．抛物线 y =x 2 -( m -4) x +2 m -3 ，当 m = _____ 时，图象的顶点在y轴上；当 m =_____ 时，图象的顶点在 x轴上；当 m= _____ 时，图象过原点．2 ．用一长度为 l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．3．求下列二次函数的最值：(1)y =2 x2-4 x +5； (2)y =(1 -x )( x +2)．4．求二次函数 y =2 x2-3 x +5在 -2 £x £2上的最大值和最小值，并求对应的 x的值．5．对于函数 y =2 x2+4 x -3，当 x £0时，求 y的取值范围．6．求函数 y =3 - 5x -3 x2 -2 的最大值和最小值．7．已知关于 x的函数 y =x2+(2 t +1) x +t2-1，当 t取何值时， y的最小值为 0？B组1．已知关于 x的函数 y =x2+2 ax +2在 -5 £x £5上．(1) 当 a =-1时，求函数的最大值和最小值；(2) 当 a 为实数时，求函数的最大值．2．函数 y =x2+2 x +3在 m £x £0上的最大值为 3，最小值为 2，求 m 的取值范围．3．设 a >0，当 -1£x £1时，函数 y =-x2-ax +b +1的最小值是 -4，最大值是 0，求 a , b的值．l 29时， y =min544．已知函数 y =x 2 +2 ax +1 在 -1 £x £2上的最大值为 4，求 a 的值．5．求关于 x 的二次函数 y =x 2 -2tx +1 在 -1£x £1上的最大值( t 为常数)．第五讲 二次函数的最值问题答案A 组1．4 14 或 2，322． m 2163 ．(1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值 ，无最小值．34．当 x =3 314 8；当 x =-2时， y =19max．5． y ³-56．当 x =56时， y =3 -min36；当 x =23或 1 时， y =3 max．7．当 t =- 时， y =0min．B 组1．(1) 当 x =1 时， ymin=1 ；当 x =-5时， ymax=37．(2) 当 a ³0 时， ymax=27 +10 a ；当 a <0 时， ymax=27 -10 a．2． -2 £m £-1．13． a =2, b =-2．4． a =- 或 a =-14．5．当 t £0 时， ymax=2 -2t，此时 x =1 ；当 t >0 时， ymax=2 +2t，此时 x =-1．。