有重复元素的排列数求法江西省永丰中学（ 331500） 刘 忠我们要解决的排列问题大多数情况下是无重复元素的排列问题， 如果要解决的排列问题中有部分元素是相同的那怎么办呢？答案是：用除法！先来看下面这个问题：用三个 1 二个 2 和一个 3 可以组成多少个不同的六位数？我们不妨先退一步，假设这六个数字是不同的，则组成的六位数有 A 66 个；下面如何解决其中部分元素相同的问题呢？考虑到三个 3 在 A 66 中有 A 33 种排列情况，二个 2 在 A 66 中有 A 22 种排列情况，所以三个3 在 A 66 中实际的排列情况应为A 66种，三个 3 二个 2在 A 66 中实际的排列情A 33况应为A 66种 .又因为 1的个数是一，所以所求的六位数的个数为A 662 .3 2A3A3A 23A2一般地， 若 n 个元素a1 , a2 ,L , an中有m1个元素是t1、m2个元素是t2、 、ms个元素是t s，L其中 m1m2Lms n, tia j (i1,2,L, s, j1,2,L, n) 且 t1 t2Lts ，则这 n 个元素n!的排列数为 .m1 ! m2 !L ms !下面再看几个例题 .例 1 8 个人排成一排，其中某 4 个人的顺序是固定的，有多少种不同的排列方法？解 ∵这 4 个人的顺序是固定的， ∴可以将这 4 个人看成是相同的元素， 根据以上结论易得所求的排列数为 8! ＝ 1680.4!例 2 5 个数码 1 和 4 个数码 0 组成一个二进制九位数 .（ 1）这样的二进制数共有多少个？（ 2）其中奇数有多少个？解 （ 1）所求九位数首位当然为1，所以问题转化为： 4 个 1 和 4 个 0 有多少种排列方法 .根据以上结论易得排列数为8!＝ 70 ，所以符合条件的九位数有70 个.4!4!（ 2）首位与个位均要排1，剩下的 7 个数位中选 3 个排 1 选 4 个排 0，即7 个元素中有 3 个是1 有 4 个是 0，故共有7!35种排法，所以符合条件的奇数有35 个.3!4!例 3 某地的街道如图所示，某人沿格线从左下角的A 地走到右上角的B 地，问共有多少种路程最短的走法？解 从 A 地走到 B 地要使路程最短必须且只需走5B横段 “－”和 3竖段“｜” . 所以每一种路程最短的走法都对应着一种5 横段“－”和 3 竖段“｜”的排列；A反之， 5 横段 “－”和 3 竖段“｜”的每一种排列也对应着从 A 地走到 B 地且路程最短的走法 . 因此问题转化为：求 5 横段“－”和 3 竖段“｜”的排列数 .根据以上结论易得排列数为8!，所以符合条件的走法共有56 种.5!563!评注 ：8!是什么？因为8!= C83 =C85.所以，求 5 横段“－”和 3竖段“｜”的排5!3!5!3!列数也可以这样理解：从8 个位置中选出5 个位置来排横段“－” （或从 8 个位置中选出 3 个位置来排竖段 “｜”），其结果为 C83 =C 85就不言而喻了 . 这也是解决不同的元素个数为2 的排列问题的简单方法 .变式训练： 某建筑工地搭建的脚手架局部类似于 2 2 2的正方体 , 一建筑工人从 A沿脚手架到 B , 则行走的最近线路有 ( )A. 80 种 B. 120 种 C. 90种 D. 180 种解：要按最近路线从 A 沿脚手架到 B ，必须且只须向右、向后、向上各走BA2个单位 . 因此问题转化为：从一排六个位置中选 2个放 ，选 2个放 ，剩下的再放“从前往后的箭头” ，因此共有 C62C42 C22 ＝ 90种不同情况，故选 C.。