专题数学思想方法与解题策略第29讲解答题的解题策略一. 瞄准高考数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题,具冇较 好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经山单纯的知识综合型转化为知识、方法和 能力的综介型解答题.在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考 中学会怎样解题，是一项重要内容.解答题也就是通常所说的主观性试题，这种题型内涵丰富，包含的试题模式灵活多变，其 基木构架是:先给出一定的题设（即已知条件），然示提出一定的要求（即要达到的目标）,再让 考生解答，而且“题设”和“要求”的模式多种多样.考牛解答吋，应把己知条件作为出发点， 运用启关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个 解答过程的主要步骤和过程，有条理、合逻辑、完整地陈述清处.从近几年看,解答题的出处较稳定，一般为数列、三角函数（包括解三角形、平而向量）、 概率、立体儿何、函数与导数及不等式、解析儿何，以及应用题等.解法灵活多样，入口宽， 得部分分易，得满分难，几乎每题都有坡度，层层设关卡，能较好地区分考生的能力层次.从能 力层血看，运算与推理互相渗透，推理证明与计算紧密结合，运算能力强弱対解题的成败有很 大影响.在考査逻辑推理能力时，常常与运算能力结合考查，推导与证明问题的结论，往往要 通过具体的运算；在计算题中，也较多地掺进了逻辑推理的成分，边推理边计算.注重探究能 力和创新能力的考查.探索性试题是考查这种能力的好素材，因此在试卷中占有重要的作用； 同时加强了对应用性问题的考查.在高考数学解答题的答题过程中，主要注意以下败仗个方血：（1）审题要慢，解答要快.审 题是整个解题过程的“基础工程”题目木身是“怎样解题”的信息源,必须充分搞清题意， 综合所有条件，捉炼全部线索，形成整体认识.（2）确保运算准确，立足一次成功.（3）讲究书 写规范，力争既对又全.这就要求考生在面对试题时不但会而旦要对，对而且全，全而规范.⑷ 面対难题，讲究策略，争収得分.会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而对于不能全 部完成的题目应：①缺步解答；②跳步解答.解题过程卡在其一中间环节上时，可以承接中 间结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（2）、（3）问•总之，对高三学子来说:准确、 规范、速度，高考必胜；刻苦、坚韧、白信，势必成功！二. 解析咼考题型一规范解题问题立体儿何的考杳，主要有两类新题型，一是在考查对空间儿何体结构认识的前提下,综合性 地考查对空间几何体的体积、表面积的计算，考查空间线面位置关系，这类试题以“图”引入，背 景新颖，对考牛的空间想象能力有较高要求；二是在考查立体儿何基本问题的前捉下,将试题 设计为“探索性”的类型,改变了给出明确结论让考牛证明的局而，这类试题山于结论不明确, 对考住的数学素养有较高要求.要想解决好如上所述的立体儿何新型试题，除了牢固掌握好 立体儿何的基础知识和基本方法外，还要在空间想象能力、数学思想方法等方血下一帝工夫, 只有这样考卞才能面对新题型得心应手，将新题型转化为所熟悉的常规题，以便顺利解决问 题.这类题一定要注意解题规范，条件充分.例1 （2009•江苏）如图所示，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱中,E,F分别是的中点，点D在B\C\上丄3C.求证:（1） EF 〃平面 MBC；（2） 平而丄平而BB\C、C・【证明】（1）・・・E,F分别是A}B^C的中点， :.EF//BC,乂 TBC U 平面 4BC,EFQ 平面 ABC,・・・EF 〃平而ABC.（2）：•昭丄平面QB］。
・BB\丄佔,又/Q丄®C,:.AXD 丄平面 BBiGC,乂 MQU 平 ihiAiFD,・••平面M/Q丄平面BB\C、C.【解题要点】木题失分的原因：主要集中在部分考牛•对线而平行、线而垂直的判定方法 学握不好.逻辑思维混乱、I!；写不条理、格式不规范.解题首先要想到转化思想，就是将： 线线平行o线面平行o血面平行；线线垂肓o线面垂肓.o面面垂肓•的转化格式表达清楚.一 般來讲，在书写时，用短行(竖式)书写比较好,比较容易找得分点.避免用长行书写，长行使得条 件结论(因为，所以)不容易看清.第二，使结论成立的条件，不能漏写•比如在推论EF〃平而 /3C时，很多同学缺少師平而就要扣1〜2分.同样，在证明总线垂直平而时，要写清直 线垂直平面内的两条相交直线.在平吋学习中，一定要有证明线面位置关系的转化思想.在 考试时，要把文字语言表述转化成符号语言表述.注意书写格式，养成良好的书写习惯.， 题型二探究性问题(1) 未给出结论的通常称为归纳型问题.解答这类问题思路：归纳一猜想一证明；(2) 结论不确定的，通常称之为存在型问题.解答思路：假设—推理—定论；(3) 条件不全，需探求补足条件的，通常称为：条件探索型.解答思路：结论u条件.答案 往往不唯一；(4) 给定一些对象的某种关系,通过类比得到另一些对象的关系.解答思路：透彻理解条 件，转换思维；'(5)给出几个论断，选择其中若干个论断为条件,某一个(或几个)为结论，通常称为垂组 型.解答思路：组合条件，逐一验证.例2在平面直介坐标系中，如图，过定点C(O,p)作直线与抛物线相交于力、B两点. ⑴若点N是C关于原点0对称的点，求4ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于丿轴的直线/,使得/被以AC为直径的圆截得弦长为定值？若存在, 求出/的方程？若不存在说明理由.【解析】：解法一：⑴依题意，点N的处标为N(0,—“),可设M(X］』］),B(X2』2)E线4B的方 程为y=kx+p拋物线为x=2pyx = 2z?y 联立得| ，消去7得X2—Ipkx—2/?_=0,\y=kx^-p由韦达定理得 X] + X2= 2pkyX|'X2 = —2/?2:・S5ABN=SbBCN+S△月 CN=〒2p|Xl —Xq\=p\X\ —X2〔 = py/x ] + 七? 一 4兀 1兀2=2『弋& + 2.当 3A = 0 时,(S/WN)min = 2V^p2.⑵假设满足条件的直线/存在，其方程为y=a^c的中点为O；/与以/C为直径的圆交于点P、Q.PQ^点为则077丄PQ,o点的坐标为(专，埠弓・・・|阳|2=|002一0厲2=|(yi +卩2) —*2° —丿 i —pF=[a ~^y i+a(p-a), •••ra2 =⑵ P//|)2=4[(o—号+qp~a：令a—号=0,得0=号，此时|P0|=p为定值，故满足条 件的直线/存在，具方程为y畔,即抛物线的通径所在的直线. 解法二（1）前同解法一，再由弦乎公式得=心+&74卩2& + 时=2刃1+/心+ 2,出 k=0 时,（S△月BN）min = 2迈/A（2）假设满足条件的氏线/存在，其方程为y=a,则以M为直径的圆的方程为（X—0）（x —xi）+（y—p）（y—yi）=O,将直线方程 y=a 代入得 x2~xAx+（a~p）（a —）=0,\AB\= a/T+P \x\ — X21 = yj 1 +^2 "yjxi +%22 — 4%1%2即抛物线的通径所在的直线.【拓展提升】由已知条件判断相应结论是否存在.这类题最常见，一般有“存在",“不存 在是否存在”等语句•解答方法是先假设结论存在，然后结合已知进行严密的推证.若得出 正确结论，则命题存在，否则不存在.题型三应用性问题解答应用性问题的思路与方法：（1）审题：首先耍认真仔细地分析题意，分成读懂和深刻理 解两个层次，认清问题的各项己知条件及所要解决的问题，分清题目中所涉及的量中哪些是变 量，哪些是常量及它们间的相互联系，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系.⑵ 建模：把问题的主要关系近似化、形式化，然后建立恰当的数学模型，将实际问题转化为数学 问题.（3）解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法，再用学过的数学知识去解 决问题，得到止确合理的答案.（4）检验：对结果进行验证或评佔，对错误加以调节，最后将结果 应用于实际，做出解释或预测.例3•心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1,4则x天后的存留量y二亠；若在仮> 4）天时进行笫一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存留量力随时间变化的曲线恰为直线的一部 分，其斜率为 ° t<0）,存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行笫一次复习后的存0 + 4）-留量与不复习的存超量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点"•（1） 若67 = -1,/ = 5求“二次复习最佳时机点”;（2） 若出现了“二次复习最佳时机点”，求G的取值范I韦|・ f X存留【解析】：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为尹，1\(1 )当 Q = -1』=5 时,8 4 —(兀 + 4) 4—1 / 「、 8 4 —(x + 4) 4 | ,45(5 + 4厂 5 + 4 x + 4 81 x + 4 \81 9当H.仅当x = 14时取等号,所以“二次复习最住时机点”为第14犬.a / 、 8 4 —q(兀+ 4) 4 8 a{t + 4)—(X — /) d = z F<-2(2) y — (X —/) 4- ・(/ + 4)~ r + 4 x + 4 (Z + 4)2 x + 4 f + 4 (t + 4)~-4a 8-(7(/ + 4)2 + z + 4 '当几仅当_Q(x+：)= 即工=(z + 4) — 4时取等号，(/ + 4)2 x + 4 丘2由题意-^=(, + 4) —4>Z,所以一4|%i —x2|X'J'任意a^A及程［—1,1］恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在, 请说明理由.【思维启迪】(1)f(x)在［一1,1］上是增函数T(x)>0在［一1,1］上恒成立-根据式子特点, 转化为带参二次函数在［-1,1］上的符号问题-解关于a的不等式.-/―处一2 = 0利用韦达 定理X］ +x2 = a^\x2 = — 2—>(.r 1 —x2\=y［^+i = h(a\在A上求方⑷的最大值〃(a)n】ax转化为 / G ［ — 1,1 ］不等式 w2+/w+l>/?(a)lliax 恒成立.【解析】(1加=4常2)尹=］：2+；：2 2).•・7W在［一1,1］上是增函数,/./(%)>0对兀e［-i,i］恒成立，即x2-ox-2< 0对泻［—1,1］恒 成立.•••/=/+8>0,X2—ax—2=0 的两个非零实根,.*.X] +x2=a^\x2= ~20(1)= 1 —a—2<0—1<€?<1.0(—1)= 1 +<7—2<0・・•对炸［—1,1］金)是连续函数，且只冇当。
1时/(—1)=0以及当心一1时/(1)=0, *.A={a\—\|xj —任意a^A及/丘［—1,1］怛成立，当且仅当。