微专题：与圆有关的轨迹问题【考点梳理】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：利用圆的几何性质列方程；④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 【题型归纳】题型一： 直接法1．正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）A．线段 B．直线 C．射线 D．圆2．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）A．1 B． C． D．23．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）A． B． C． D．题型二： 定义法4．已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（ ）A． B．C． D．5．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为（ ）A．[0，] B．[－5，1]C．[－，] D．[－2，2]6．由两个边长为的等边三角形构成的菱形ABCD中（BD为两个等边三角形的公共边），若点Q满足，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．题型三： 几何法7．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A． B．C． D．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．89．已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（ ）A． B．C． D．题型四： 相关点代入法10．在平面上，已知定点，动点，当在区间上变化时，动线段所成图形的面积为（ ）A． B． C． D．11．已知圆C：，点是圆上的动点，与圆相切，且，则点的轨迹方程是（ ）A． B．C． D．12．已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将沿DM翻转，直到与△首次重合，则此过程中，线段AC的中点的运动轨迹长度为（ ）A． B． C． D．【双基达标】13．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．14．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（ ）．A．3 B．4 C．5 D．615．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）A． B．2 C． D．416．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知 ，，圆上有且仅有一个点 P满足，则r的取值可以为（ ）A．1 B．2 C．3 D．417．若平面上两点，，则过点的直线上满足的点的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．与直线的斜率有关18．已知A、B是圆O：上两个动点，点P的坐标为，若，则线段长度的最大值为（ ）A． B． C． D．19．若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．A． B． C． D．20．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（ ）A． B． C． D．21．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）A． B． C． D．22．在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ）A． B． C． D．23．在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．24．已知，，，，则面积的最大值为（ ）A． B． C． D．25．已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（ ）A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=026．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．27．在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）A． B． C． D．28．已知两定点，，若动点满足，则的轨迹为（ ）．A．直线 B．线段 C．圆 D．半圆29．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）A． B． C． D．30．已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（ ）A． B．C． D．【高分突破】一、 单选题31．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．32．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆33．阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）A． B．2 C． D．34．如果圆上总存在两个点到原点的距离均为，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．二、多选题35．抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）A．直线恒过定点 B．C． D．若于点，则点的轨迹是圆36．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(﹣4，0)，点B是圆C：上任一点，点P为AB的中点，若点M满足MA2＋MO2＝58，则线段PM的长度可能为（ ）A．2 B．4 C．6 D．837．已知点A是圆C:上的动点，O为坐标原点，，且,，，三点顺时针排列，下列选项正确的是（ ）A．点的轨迹方程为B．的最大距离为C．的最大值为D．的最大值为38．已知圆的方程为，则（ ）A．若过点的直线被圆截得的弦长为，则该直线方程为B．圆上的点到直线的最大距离为C．在圆上存在点，使得到点的距离为D．圆上的任一点到两个定点、的距离之比为三、填空题39．平面直角坐标系中，已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆交圆于、两点，点在上且满足，则点的轨迹方程是________．40．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以的速度匀速直线飞向距月心的圆形轨道上的某一点，在点处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时_______________s.41．已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______42．线段是圆 的一条动弦，且，直线恒过定点，则 的最小值为________．43．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，给出下列四个结论：①的最小值是4；②点的轨迹是一个圆；③若点，点，则存在点，使得；④△面积的最大值是．其中所有正确结论的序号是________．44．已知平面向量，，满足：，，则的最小值是_________.四、解答题45．设圆的半径为，圆心是直线与直线的交点．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）已知点，若圆上存在点，使，求的取值范围．46．已知点，曲线C上任意一点P满足．（1）求曲线C的方程；（2）设点，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．47．已知圆过三个点.(1)求圆的方程；(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.48．已知点与两个定点，的距离的比为.（1）记点的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程.（2）过点作两条与曲线相切的直线，切点分别为，，求直线的方程.（3）若与直线垂直的直线与曲线交于不同的两点，，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围.49．双曲线，､为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.(1)求的轨迹方程；(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.第 8 页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案1．D【解析】【分析】可以利用平面向量数量积的运算性质得，即，来确定动点C的轨迹；或者可以利用三角形的特点合理建系，结合向量的坐标运算，设动点C的坐标，利用已知条件计算轨迹方程，来确定C的轨迹.【详解】解：方法一：由题可知：，又所以，即所以点C的轨迹是圆.方法二：由题可知：，如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以设 ，又所以整理得：所以点C的轨迹是圆.故选：D.2．B【解析】【分析】设，由得，将转化为和圆上点之间的距离，即可求出最大值.【详解】设，则，，整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，又在圆上，故的最大值是.故选：B.3．B【解析】【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理．【详解】∵，即设，则，整理得故选：B．4．A【解析】【分析】先求得线段中点的轨迹，结合向量的模、圆与直线的位置关系等知识求得的最小值.【详解】设线段的中点为，圆的圆心为，半径为.到直线的距离为，所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为.所以.故选：A5．D【解析】【分析】由题意得四边形PAOB为正方形，得点轨迹，转化为交点问题【详解】由题意可知四边形PAOB为正方形，，∴点P在以O为圆心，以为半径的圆上，又P也在圆M上，即两圆有交点∴，∴a2＋4≤8，－2≤a≤2．故选：D6．B【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量减法的运算法则、圆的性质进行求解即可.【详解】，所以.故.所以点Q在以点D为圆心，9为半径的圆上，又，所以的最大值为；的最小值为，故选：。
