第16讲 圆与圆的位置关系模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法；2．能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系；3．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.知识点 1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判定（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d．位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d与，的关系（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．消元，一元二次方程知识点 2两圆的公切线1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线3、两圆公切线方程的确定（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．知识点 3 圆与圆的公共弦1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦．2、公共弦所在直线的方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程；（2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程.3、公共弦长的求法（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．（2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长．知识点 4 圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。
1、过直线与圆的交点的圆系方程是：（）2、以为圆心的同心圆系方程是：；3、与圆同心的圆系方程是；4、过同一定点的圆系方程是．考点一：圆与圆的位置关系判断例1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（ ）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【变式1-1】（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（ ）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含【变式1-2】（23-24高二下·广东惠州·月考）若直线与圆相切，则圆与圆（ ）A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点【变式1-3】（23-24高二上·天津·月考）下列圆中与圆相外切的是（ ）A． B．C． D．考点二：由圆与圆位置关系求参例2. （23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（ ）A．1 B．2 C．1 D．2【变式2-2】（23-24高二上·河南·月考）（多选）已知两圆和有公共点则r的值可能是（ ）A． B．1 C．6 D．8【变式2-3】（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．考点三：两圆的公共弦问题例3. （23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（ ）A． B．C． D．【变式3-1】（23-24高二下·山西太原·月考）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）A． B．C． D．【变式3-2】（23-24高二下·贵州·月考）已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）A． B．5 C． D．【变式3-3】（23-24高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ）A． B． C． D．考点四：两圆的公切线条数问题例4. （23-24高二上·河南周口·月考）平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（ ）A．4条 B．3条 C．2条 D．0条【变式4-1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【变式4-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）若圆与圆有且仅有一条公切线，则 .【变式4-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ．考点五：求两圆的公切线方程例5. （23-24高二下·江苏盐城·月考）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ）A． B． C． D．【变式5-1】（22-23高二上·河南南阳·月考）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）（1）y＝0 （2） （3） （4）A．（1）（3）（4） B．（2）（3）C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）【变式5-2】（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ）A． B．C． D．【变式5-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 .考点六：圆系方程的应用例6. （22-23高二上·重庆·月考）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）A． B．C． D．【变式6-1】（23-24高二上·内蒙古包头·月考）已知圆，.(1)求过两圆交点的直线方程及弦长；(2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．【变式6-2】（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：．(1)求过点且与圆C相切的直线方程；(2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程．【变式6-3】（22-23高二上·广东深圳·期中）已知两圆,，直线，（1）当圆与圆相交且公共弦长为4时，求r的值；（2）当r =1时，求经过圆与圆的交点且和直线l相切的圆的方程．一、单选题1．（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（ ）A．相交 B．外离 C．外切 D．内含2．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．3．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）A． B．C． D．4．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）两圆与的公共弦长为（ ）A． B． C． D．15．（23-24高二上·山东济宁·月考）两个圆和的公切线有（ ）条A．1 B．2 C．3 D．46．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）A． B．C． D．二、多选题7．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（ ）A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个8．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（ ）A．若圆和圆相交，则B．若圆和圆外切，则C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线D．当时，圆和圆相交弦长为三、填空题9．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为 .10．（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 .11．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ．四、解答题12．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆.(1)求圆的方程；(2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.13．（21-22高二上·安徽六安·月考）已知圆与圆相交于A、B两点.(1)求公共弦AB所在直线方程；(2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程.。
