专题 直线、平面垂直的判定与性质考点精要1．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理. 热点分析线线垂直，线面垂直，面面垂直仍然是考查的重点和难点.知识梳理1．线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.推论1. 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.推论2. 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.3．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么两个平面互相垂直.4．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．5．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.6．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 例题精讲:例1. 如图，棱柱的侧面是菱形， （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值. 例2 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、分别为、、的中点，且. （I）求证：平面平面； （II）求三棱锥与四棱锥的体积之比.例3 (1).已知：如图，在直三棱柱—中, ，为的中点．求证：（Ⅰ）； （Ⅱ）∥平面.(2)如图，四棱锥的底面是正方形，平面，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：．DBCEB1C1AA1O(3)如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点，与的交点为.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面.例4(1) 一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中为的中点） (Ⅰ).求证：平面(Ⅱ).当点在棱上的什么位置时，有平面， 请证明你的结论(Ⅲ).对（2）中确定的点，求三棱锥的体积． B1A1C1BCAMN(2)三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．(3)如图：在四棱锥中，底面是菱形，平面ABCD，NMPABCD点分别为的中点，且.(I) 证明：⊥平面；(II)求三棱锥的体积；(III)段PD上是否存在一点E，使得平面；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.例5 ． 三棱柱中，平面，是边长为的等边三角形，为边中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．例6 ． 如图1，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示.（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长.ABCPD44422图1图2正（主）视图侧（左）视图 例7． 如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，，是⊙上一点，且，分别为中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；(Ⅱ) 求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积．针对训练1．“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．如果一条直线与平面a的一条垂线垂直，那么直线与平面a的位置关系是 A．Ìa B．⊥a C．∥a D．Ìa或∥a 3．下列说法正确的是 A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线 B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线 C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线 D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M4．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是 A．梯形 B．圆外切四边形 C．圆内接四边形 D．任意四边形5．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于 A．6 B．5 C．4 D．36．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则； ②若，，，，则；③若，，则； ④若，，，，则其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．47．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是 A．若，则 B．若l∥α，α∥β，则 C．若，α∥β，则 D．若l∥α，，则 9．若l、m、n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A．若α∥β，l∥n B．若 C．若 l∥m D．若l∥β，10．如图，平行四边形 中，，将沿折起到的位置，使平面平面 （1）求证： （2）求三棱锥 的侧面积．11．如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；12．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=.（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P—ABCD的体积.答案: 例1 略 例2 略针对训练1．B 2．D 3．B 4．B 5 ．C 6．B 7．B 8．C 9．D 10．（1）略 （2） 11．（1） （2）略 12．（1）略 （2）高考链接1（09北京文）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。
Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小2（05北京文）（本小题共14分） 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1； （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．3 （11海淀模拟）（本小题满分13分） 如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E是侧棱CC1的中点 （I）求证：AC⊥平面BDD1B1； （II）求证：AC//平面B1DE4（11海淀文）.（本小题共13分）已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点. (I) 求证：平面平面；（II）求证：平面. 答案 1 略2证明（共14分）（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；（III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴ ，∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.3 略 4 略。