矩形的性质与判定矩形的性质与判定 一、矩形的定义一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形） 二、矩形的性质二、矩形的性质 矩形具有平行四边形的一切性质 （1）边：对边平行且相等 （2）角：四个角都是直角 （3）对角线：互相平分且相等 三、矩形的判定三、矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形 （2）对角线相等的平行四边形 （3）有三个角是直角的四边形 四、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半四、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来源来源:学科网学科网 ZXXK 已知：如图 3-2-2，BO 是 Rt ABC 斜边 AC 的中线，求证：BO= 21AC 证明：过点 A 作 ADBC 与 BO 的延长线交于点 D，连接 CD OCB=OAD O 是 AC 的中点， AO=OC 又BOC=AOD BOCAOD 来源:学科网 ZXXK AD=BC 又ABC=90 来源:学*科*网 Z*X*X*K 四边形 ABCD 是矩形 AC=BD BO= 21BD= 21AC 点评点评：证明这个推论的关键是构造辅助图形矩形，且构造方法不唯一，还可以延长 BE 到 D，使 BE=ED，OCDBA 再连 AD、CD 再证四边形ABCD 是矩形，在证明时需用到矩形的对角线互相平分的性质，对于特殊平行四边形也有平行四边形的所有性质。
五、和矩形有关的折量问题五、和矩形有关的折量问题 1、如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在 E 处，BE 交 AD 于 F，连接 AE求证 BF=DF 分析：分析：要证明 BF=DF，可证明 ABFEDF，也可以证明FBD=FDB 证明：证明：四边形 ABCD 是矩形 AB=CD，BAD=C=90 又Rt BCDRt BED BED=C=90 ，DC=DE AB=ED BAD=BED来源:学科网 ZXXK AFB=EFD（对顶角） ABFEDF（AAS） BF=DF 2、如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O，BEAC 交 DC 的延长线于点 E （1）求证：BD=BE； （2）若DBC=30 ，BO=4，求四边形 ABED 的面积 思路分析： （1）根据矩形的对角线相等可得 AC=BD，然后证明四边形 ABEC 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得 AC=BE，从而得证； （2）根据矩形的对角线互相平分求出 BD 的长度，再根据 30 角所对的直角边等于斜边的一半求出 CD 的长度，然后利用勾股定理求出 BC 的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解 解答： （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， AC=BD，ABCD，BEAC，四边形 ABEC 是平行四边形，AC=BE，BD=BE； （2）解：在矩形 ABCD 中，BO=4，BD=2BO=2 4=8， DBC=30 ，CD=BD= 8=4，AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8， 在 Rt BCD 中，BC= =4， 四边形 ABED 的面积=（4+8）4 =24 3、如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于点 F，AED=2CED，点 G 是 DF 的中点，若 BE=1，AG=4，则 AB 的长为 来源:学科网 考点：矩形的性质；勾股定理专题：计算题 分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 AG=DG，然后根据等边对等角的性质可得ADG=DAG，再结合两直线平行，内错角相等可得ADG=CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AGE=2ADG，从而得到AED=AGR，再利用等角对等边的性质得到AE=AG，然后利用勾股定理列式计算即可得解 解：四边形 ABCD 是矩形，点 G 是 DF 的中点， AG=DG，ADG=DAG， ADBC， ADG=CED， AGE=ADG+DAG=2CED， AED=2CED， AGE=AED， AE=AG=4， 在 Rt ABE 中，AB= 故答案为： 点评： 本题考查了矩形的性质， 等边对等角的性质， 等角对等边的性质， 以及勾股定理的应用， 求出 AE=AG是解题的关键 12122222- 8 -4 BDCD312332222- 4 -1 AEBE1515。
