河北省近五年中考数学压轴题综述河北省中考数学最终一道压轴题的命制，从 1996 年至 2001 年的近五年来出现出一个规律：都是几何图形运动型的综合题，并且由运动的几何图形来看，类型各异，颇具特色；一、单点运动型例 1 〔1999 年河北省中考压轴题 〕 如图 1-1 ，正方形 OABC的顶点 O在坐标原点，且 OA边与 AB边所在直线的解析式分别为： y= x 和 y=- x+ ；D、E 分别为边 OC和 AB的中点， P为 OA边上一动点 〔 点 P 与点 O不重合 〕 ，连结 DE和 CP，其交点为 Q；(1) 求证：点 Q为△ COP的外心；(2) 求正方形 OABC的边长；(3) 当⊙Q与 AB相外切时，求点 P 的坐标；解： 〔1〕 ∵D、 E 分别为正方形 OABC中 OC、AB的中点，∴DE∥OA；∴Q也是 CP的中点；又∵ CP是 Rt△COP的斜边，∴点 Q为△ COP的外心；(2) 由方程组解得∴点 A 的坐标为 〔4 ，3〕 ；过点 A 作 AF⊥ox 轴，垂足为点 F；∴OF=4， AF=3；由勾股定理，得 OA= =5；(3) 如图 1-2 ，当△ COP的外接圆⊙Q 与 AB相切时，∵圆心 Q在直线 DE上，且 DE⊥AB，∴E为⊙Q与 AB相切的切点；又∵ AE 和 APO分别是⊙Q 的切线与割线∴AE2=APAO∵OA=5， AE=∴〔 〕 2=AP5，∴AP=∴当⊙Q与 AB相切时， OP=5-作 PH⊥ox，垂足为 H；∵PH∥AF，∴∴OH= ，PH=∴点 P 的坐标为 〔3 ， 〕二、双点互动型例 2 〔1997 年河北省中考压轴题 〕 已知：如图 2-1 ，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AB=8厘米， AD=24厘米， BC=26厘米， AB为⊙O的直径；动点 P 从点 A 开头沿 AD边向点 D以1 厘米/ 秒的速度运动，动点 Q从点 C开头沿 CB边向点 B 以 3 厘米/ 秒的速度运动； P、Q分别从点 A、C同时动身，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动；设运动时间为 t 秒；求： 〔1〕t 分别为何值时，四边形 PQCD为平行四边形、等腰梯形？〔2〕t 分别为何值时，直线 PQ与⊙O相切、相交、相离？ 解： 〔1〕 ∵AD∥BC，∴只要 QC=P，D 四边形 PQCD为平行四边形；此时，有 3t=24-t ，解，得 t=6 ；即当 t=6 秒时，四边形 PQCD为平行四边形；同理，只要 PQ=C，D PD≠QC，四边形 PQCD为等腰梯形；过 P、D分别作 BC的垂线交 BC于 E、F 两点〔 如图 2-2〕 ，就由等腰梯形的性质可知：EF=PD，QE=FC=；2∴2= [3t〔24-t〕]解得 t=7∴t=7 秒时，四边形 PQCD为等腰梯形；〔2〕 设运动 t 秒时，直线 PQ与⊙O相切于点 G〔如图 2-3〕 ，过 P 作 PH⊥BC，垂足为 H；就 PH=AB，BH=AP，即 PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t ；由切线长定理，得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t；2 2 2由勾股定理，得 PQ=PH+HQ，2 2 2即〔26-2t〕 =8 +〔26-4t〕化简整理，得 3t 2-26t+16=0解，得 t 1= ， t 2 =8即 t= 秒或 t=8 秒时，直线 PQ与⊙O相切；∵t=0〔 秒〕 时， PQ与⊙O相交；当 t= =8 〔 秒〕 时， Q点运动到 B 点， P 点尚未运动到 D点，但也停止运动，此时 PQ也与⊙O相交；∴当 t= 或 t=8 时，直线 PQ与⊙O相切；当 0≤t ＜ 或 8＜t ≤8 时，直线 PQ与⊙O相交；当 ＜t ＜8 时，直线 PQ与⊙O相离；三、直线平移型例 3 〔2000 年河北省中考压轴题 〕 在如图 3-1 所示的直角坐标系中，点 C在 y 轴的正半轴上，四边形 OABC为平行四边形， OA=2，∠ AOC=60 ，以 OA为直径⊙P 经过点 C，点 D在 y 轴上， DM为始终与 y 轴垂直且与 AB边相交的动直线，设 DM与 AB边的交点为 M〔点 M段 AB上，但与 A、B 两点不重合 〕 ，点 N 是 DM与 BC的交点设 OD=t；(1) 求点 A 和 B 的坐标；(2) 设△ BMN的外接圆⊙G 的半径为 R，请你用 t 表示 R及点 G的坐标；(3) 当⊙G与⊙P相切时，求直角梯形 OAMD的面积；解： 〔1〕 连结 AC；∵OA为⊙P的直径，∴∠ ACO=90又∵ OA=2，∠ AOC=60 ，∴ OC=1， AC=∴点 A 的坐标为 〔 ,1〕又 OABC为平行四边形，∵ AB OC，∴点 B 的坐标为 〔 ,2〕(2) ∵DM⊥y轴，且 AB∥OC，∴ DM⊥AB；∴∠ NMB=90∴⊙G的圆心 G为 BN的中点；又∵∠ B=∠AOC=60 ，∴ BM= BN=R；而点 B 的纵坐标为 2，点 M的纵坐标 =点 D的纵坐标 =t ，∴BM=2-t ，∴ R=2-t过点 G作 GH∥y轴，交 x 轴于点 H，交 DM于点 F；过点 G作 GK∥x轴，交 AB于点 K〔如图 3-2〕 ；依据垂径定理，得到： FM= MN，KM= BM；设点 G的坐标为 〔x, y〕 ∵NM= 〔2-t〕∴x=DM- MN= - 〔2-t〕= t ， y=OD+ BM=t+ 〔2-t〕=1+ t ；∴点 G的坐标为 〔 t ，1+ t〕 ；(3) 连结 GP，过点 P 作 PE∥x轴，交 GH于点 E；由 PE⊥GE，依据勾股定理得：GP===当⊙G与⊙P外切时， PG=R+，1∴ =3-t ；解得 t= ，经检验 t= 是原方程的根；此时， OD=t= ，AM=1-MB= ，DM=AC=∴此时， OD=t= ，AM=1-MB= ， DM=AC= ，∴直角梯形 OAMD的面积为：S= ，DM= = ；四、点线共动型例 4 〔2001 年河北省中考压轴题 〕 如图 4-1 ，在菱形 ABCD中， AB=10，∠ BAD=60；点 M从点 A以每秒 1 个单位长的速度沿着 AD边向点 D移动；设点 M移动的时间为 t 秒〔0 ≤t ≤10〕 ；(1) 点 N为 BC边上任意一点； 在点 M移动过程中， 线段 MN是否肯定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；(2) 点 N从点 B〔与点 M动身的时刻相同 〕 以每秒 2 个单位长的速度沿着 BC边向点 C移动，在什么时刻，梯形 ABNM的面积最大？并求出面积的最大值；(3) 点 N从点 B〔与点 M动身的时刻相同 〕 以每秒 a〔a ≥2〕 个单位长的速度沿着射线 BC方向〔 可以超越 C点〕 移动，过点 M作 MP∥AB，交 BC于点 P；当△ MPN≌△ ABC时，设△ MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为 S，求出用 t 表示 S 的关系式，并求出 S=0 时 a 的值；解： 〔1〕MN 肯定能在某一时刻将菱形 ABCD分割成面积相等的两部分；对于中心对称图形，过中心的任始终线均能将图形分割成面积相等的两部分；而且菱形是中心对称图形 〔 如图 4-2 所示〕 ；在点 M由 A 到 D的移动过程中，肯定存在一个时刻，使得线段 MN过菱形的中心；(2) 过 B 作 BE⊥AD，垂足为 E〔如图 4-3〕 ；在 Rt△ABE中， BE=10sin60=5∵AM=t， BN=2t，∴S梯形 ABNM= 〔t+2t〕 5 = t ；∵2t ≤10，∴ t ≤5∴当 t=5 时， S 梯形 ABNM最大； 最大面积为： 5= ；(3) △ABC是腰长为 10 的等腰三角形；当△ ABC≌△ ABC时〔 如图 4-4〕 MP=10，PN=BC=1，0 且 MP=P；N∴NC=PN-PC=BC-PC=PB∵BP=AM=，t∴PC=10-t ，NC=t过 P 作 PG⊥DC，垂足为 G；在 Rt△PGC中， PG=PCsin60= 〔10-t〕 ；设 MN交 DC于 F，∵DC∥MP，且 MP=P，N∴∠ NFC=∠NMP∠=∴FC=NC=；tMNP，∵重叠部分 MPCF是梯形，∴S= 〔t+10〕 〔10-t〕=- t 2+25当 S=0，即- t 2+25 =0 时，解得 t 1=10，t 2=-10〔 舍去〕∵BN=at，且 BN=PN+PB=10，+t∴at=10+t ；将 t=10 代入 at=10+t ，解得 a=2；五、点圆齐动型例 5 〔1998 年河北省中考压轴题 〕 如图 5-1 所示，一艘轮船以 20 浬/ 时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以 40 浬/ 时的速度由南向北移动，距台风中心 20 浬的圆形区域 〔 包括边界 〕 都属台风区；当轮船到 A 处时，测得台风中心移到位于点 A 正南方向 B 处，且 AB=100浬；(1) 如这艘轮船自 A 处按原速度连续航行， 在途中会不会遇到台风？如会， 试求轮船最初遇到台风的时间；如不会，请说明理由；(2) 现轮船自 A 处立刻提高航速，向位于东偏北 30方向，相距 60 浬的 D港驶去；为使台风到来之前，到达 D港，问船速至少应提高多少 〔 提高的船速取整数， ≈3.6〕 ？解： 〔1〕 设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为 t 小时，此时，轮船位于 C 处，台风中心移到 E处，连结 CE〔如图 5-2〕 ；就有 AC=20t，AE=AB-BE=100-40，t22在 Rt△AEC中， AC2+AE2=EC2，EC=20 ；2∴〔20t〕+〔100-40t〕=〔20 〕 ；2整理，得 t -4t+3=0 ①∵△ =〔 -4〕 2- 413=4＞ 0，∴途中会遇到台风； 解①，得 t 1=1，t 2=3；∴最初遇到台风的时间为 1 小时；〔2〕 设台风抵达 D港时间为 t 小时，此时台风中心至 M点；过 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，连结 DM；在 Rt△ADF中， AD=60，∠ FAD=60，∴DF=30 ， FA=30；又〔30 〕 2+〔130-40t〕 2=〔20 〕 2 ，整理，得 4t 2-26t+39=0解之，得 t 1= ，t 2= ；∴台风抵达 D港的时间为 小时；∵轮船从 A 处用 小时到 D 港的速度为 60 ≈25.5 ；因此，为使台风抵达 D 港之前轮船到 D 港，轮船至少应提速 6 浬/ 时；连续五年的中考压轴题都以几何图形的运动为命题背景，并非纯属巧合；大致主要缘由是命题者看中了这种题目的综合性强、对思维才能的要求高这一颇具选拔性的功能；而在动中求静的辨证统一思想，又成为表达数学中辩证法的很好素材；由此可见，无论从今类题目的命题形式、仍是考查意图上。