20112011 年河南省普通高等学校年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学高等数学一、选择题一、选择题（每小题（每小题 2 2 分，共分，共 6060 分）分）1函数f(x)ln(2 x)A(,2)xx 2的定义域是（）C(2,2)D(0,2)B(2,)【答案】C2 x 0 2 x 2，故函数f(x)的定义域是(2,2)【解析】x 2 02设f(x 1)x2 2x 2，则f(x)（）Ax2Bx21Cx25x 6Dx23x 2【答案】B【解析】f(x 1)x2 2x 2 (x 1)21，故f(x)x213 设函数f(x)在 R 上为奇函数，g(x)在 R 上为偶函数，则下列函数必为奇函数的是（）Af(x)g(x)Bfg(x)Cgf(x)Df(x)g(x)【答案】A【解析】由于奇函数与偶函数的乘积为奇函数，故f(x)g(x)为奇函数4limxsinx01（）xA1B1C0D不存在【答案】C【解析】当x 0时，x 无穷小量，sin的乘积仍为无穷小量，故limxsinx0111，sin为有界函数，由于无穷小量与有界函数xx1 0 x第 1 页 共 13 页5设f(x)1，则limh0f(x 2h)f(x 3h)（）hA4B5C2D1【答案】B【解析】limh0f(x 2h)f(x 3h)f(x 2h)f(x)f(x 3h)f(x)2lim3lim 5f(x)5h0h0h2h3h6当x 0时，下列无穷小量与 x 不等价的是（）Ax x2Be 2x 1x3ln(1 x2)CxDsin(x sinx)【答案】D【解析】limsin(x sin x)x sin x1cosx lim lim 2，故sin(x sinx)与 x 不等价x0 x0 x0 xx11,x 017f(x)ex1，则x 0是f(x)的（）x 00,A可去间断点B跳跃间断点C连续点D第二类间断点【答案】B【解析】limx01e 11x 0，limx01e 11x1，f(x)在x 0处的左、右极限存在但不相等，故x 0是f(x)的跳跃间断点8y sinx的三阶导数是（）Asin xBsin xCcos xDcos x【答案】D【解析】(sinx)cosx，(sinx)(cosx)sin x，(sinx)(sin x)cosx9设x1,1，则arcsinx arccosx（）第 2 页 共 13 页A2B4C0D1【答案】A【解析】(arcsin x arccosx)11 x211 x2故arcsinx arccosx为常数，令x 0，2，2可得arcsinx arccosx 44210 若f(x0)0，f(x0)0，则下述表述正确的是（）Ax0是f(x)的极大值点Cx0不是f(x)的极值点Bx0是f(x)的极小值点D无法确定x0是否为f(x)的极值点【答案】B【解析】由极值的判定条件可知，x0是f(x)的极小值点111方程y arcsin所表示的曲线（）xA仅有水平渐近线B仅有垂直渐近线C既有水平渐近线，又有垂直渐近线D既无水平渐近线，又无垂直渐近线【答案】A【解析】函数的定义域为(,11,)，而limarcsinx11 0，故y arcsin仅有水平渐近xx线121dx（）1x21A0B2C2D以上都不对【答案】D【解析】011111dx dx dx 1x20 x21x2x1011x10，积分值不存在，故选 D第 3 页 共 13 页13方程sin x x 1 0在区间(0,1)内根的个数是（）A0B1C2D3【答案】B【解析】令f(x)sin x x 1，f(x)cosx 1，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，又f(0)1 0，f(1)sin1 0，故sin x x 1 0在区间(0,1)内只有一个根14设f(x)是cos x的一个原函数，则df(x)（）Asinx CBsin x CCcosx CDcosx C【答案】A【解析】由于f(x)是cos x的一个原函数，故f(x)sin x C1，df(x)sinx C15设F(x)x2costxesintdt，则F(x)（）A为正常数B为负常数C 恒为零D不为常数【答案】C【解析】F(x)x22xecostsintdt ecostxx ecosxecosx 016dbdxxtetdt（）AxexBxexCebexDbeb xex【答案】A【解析】dbtetdt xexdxx17由曲线y sinx(0 x)与 x轴所围成的区域的面积为（）A0B2C2D【答案】B【解析】sinxdx cosx00 2第 4 页 共 13 页18 关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是（）A一定含有两个任意常数C一个方程只有一个通解B通解包含所有解D以上说法都不对【答案】A【解析】微分方程的解中所含任意常数相互独立，且个数与方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解，由通解的定义可得A 正确19微分方程y3y x的通解是（）Ay 2x Ce2x11Cy 3x Cex9By xexCx111Dy x Ce3x39【答案】D 3dx113x3dx【解析】通解为y exedxCx Ce，C 为任意常数9320已知向量a a i i j j k k，则垂直于a a且垂直于 y 轴的向量是（）Ai i j j k kBi i j j k kCi i k kDi i k k【答案】i ij jk k【解析】设 y 轴方向向量j j (0,1,0)，而a a j j 111 (i i k k)，与a a，j j都垂直的向量010是c c l(i i k k)，故选 D21对任意两向量a a，b b，下列等式不恒成立的是（）Aa a b b b b a aCa ab b b ba aBa ab b b ba aDa a b ba ab b a a2b b222【答案】C【解析】由向量积运算法则可知a ab b b ba a，故选 C第 5 页 共 13 页22直线xyz与平面x y z 2的位置关系是（）110A平行B直线在平面内C垂直D相交但不垂直【答案】A【解析】(1,1,0)(1,1,1)0，得直线的方向向量与平面的法向量垂直，在直线上取一点(0,0,0)，该点不在平面x y z 2上，故直线与平面平行23limy的值为（）x2sin xyy0A0B1C12D不存在【答案】C【解析】limyy11 lim limx2sin xyx2xyx2x2y0y024函数f(x,y)在(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)都存在是f(x,y)在该点处连续的（）A充要条件C充分非必要条件B必要非充分条件D既非充分亦非必要条件【答案】D【解析】两个偏导数存在与连续没有关系，故选Dx 25函数z ln1在点(1,1)处的全微分dzy(1,1)（）1B(dxdy)211Ddx dyx yyA0Cdxdy【答案】Bz1z111【解析】，x1xyx yy1xyyx x，2 2dzyy xy(1,1)11故选 Bdx dy，22第 6 页 共 13 页26设I dy011y03x2y2dx，则交换积分次序后（）3x2y2dyAI dx011x01x2BI 1y01dx3x2y2dy01x201CI dx0103x2y2dyDI dx03x2y2dy【答案】C11x20 x 10 y 1【解析】，交换积分次序后为I dx3x2y2dy2000 y 1 x0 x 1 y27设 L 为三个顶点分别为A(1,0)，O(0,0)和B(0,1)的三角形区域的边界，L 的方向为顺时针方向，则(3x y)dx(x 2y)dy（）LA0B1C2D1【答案】【解析】28设D(x,y)0 x,1 y 1，则ycos(2xy)dxdy（）4D1A2B0C14D12【答案】B【解析】ycos(2xy)dxdy dy4ycos(2xy)dx D10111y1ysindy cos212211 029若级数an与bn都发散，则下列表述必正确的是（）n1n1A(anbn)发散n1Banbn发散n122D(an bn)发散n1C(an bn)发散n1【答案】C【解析】an发散，则an发散，an bn an，由正项级数的比较判别法可知，n1n1第 7 页 共 13 页(an1n bn)发散30若级数an(x 2)n在x 2处收敛，则此级数在x 4处（）n1A发散C绝对收敛B条件收敛D敛散性不能确定【答案】C【解析】级数an(x 2)n在x 2处收敛，由阿贝尔定理知，对于所有满足x 2 4的点n1x，即2 x 6，幂级数an(x 2)n绝对收敛，故此级数在x 4处绝对收敛n1二、填空题二、填空题（每小题（每小题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）31lim(1 x)_x01x【答案】e1【解析】lim(1 x)lim1(x)x0 x01x1(1)x e132设f(x)为奇函数，则f(x0)3时，f(x0)_【答案】3【解析】由于f(x)为奇函数，故f(x)为偶函数，故f(x0)f(x0)333曲线y lnx上点(1,0)处的切线方程为_【答案】y x 1【解析】y341x(x 1)dx _x 1Cxx11，故切线方程为y 0 x 1，即y x 1【答案】ln第 8 页 共 13 页【解析】111x 1dx dx dx ln x 1 ln x C lnCx(x 1)x 1xx35 以C1e2xC2xe2x为通解的二阶常系数齐次线性方程为_【答案】y 4y 4y 0【解析】由题意可知，r 2为二阶常系数齐次线性微分方程所对应的特征方程的二重根，满足特征方程r2 4r 4 0，故所求方程为y 4y 4y 036点(1,2,3)关于 y 轴的对称点是_【答案】(1,2,3)【解析】点(1,2,3)关于 y 轴的对称点，即 y 不变，x，z 取其相反数，故对称点为(1,2,3)37函数z exy在点(0,0)处的全微分dz【答案】dxdy【解析】dz 38由x y xy 1所确定的隐函数y y(x)在x 1处导数为_1【答案】2(0,0)_zzdx dy exydx exydy，故dzxy(0,0)dxdy【解析】方程两边同时关于 x 求导得，当x 1时，代入得y(1)1 y y xy 0，y 0，39函数z x2 y2在点(1,2)处沿从点A(1,2)到B(2,2 3)的方向的方向导数等于12_【答案】1 2 3【解析】zx 2，(1,2)zy(1,2)13 4，与AB (1,3)同方向的单位向量为2,2，第 9 页 共 13 页故方向导数为zl(1,2)13 2 41 2 322xn40幂级数的收敛区间为_n1n【答案】(1,1)【解析】lim三、计算题三、计算题（每小题（每小题 5 5 分，共分，共 5050 分）分）nn41用夹逼准则求极限lim22nn 1n 2nn2 nan11n lim1，R 1，故收敛区间为(1,1)nn 1ann【答案】1nnn【解析】因为2，k 1,2,22n nn kn 1nn2nn2，,n，所以2n nk1n2 kn21n2n2nn又lim21，由夹逼准则可知，lim221，lim2nn 1nn 1nn nn 213x sin2,x 042讨论函数f(x)在x 0处的可导性xx 00,n1n n2【答案】f(x)f(0)limx0 x 0 x3sin1x2 limx2sin1 0，故函数f(x)在x 0处可导x0 xx2【解析】f(0)limx0ex43求不定积分2xdxe1【答案】arctanexCexdex【解析】2xdx arctanexC2e1ex1第 10 页 共 13 页44求定积分xexdx01【答案】1【解析】xexdx xdex xex001110exdx e(e1)10145求微分方程y3y 2y ex的通解1【答案】y C1exC2e2xex，其中C1,C2为任意常数6【解析】特征方程为r23r 2 0，解得r1 1，r2 2，1不是特征方程。