第五节隐函数求导法则教学目的教学重点教学难点会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数隐函数的偏导数隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数；教学时数:教学内容：一、一个方程的情形1、隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数F(x0,y0)O,Fy(X0,y0)0贝U方程F(x,y)0在点(x^y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yfx它满足条件y0fx0并有dyFxdxFy证明将yfx代入F(x,y)0,得恒等式F(x,fx)0,等式两边对x求导得-EE攻0xydx由于Fy连续且Fy(x0,y°)0所以存在(x0,y)的一个邻域在这个邻域同Fy0于是得dydxFxFy2例1:验证万程xy2110在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数x，并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值2解：设F(x,y)x2由定理1可知方程x2x0时y1的隐函数yf(x)dy£xxdxFyydydxx0d2ydx2yxyyx(*)22y2x23~y1~^3yd2ydx2隐函数存在定理还可以推广到多元函数一个二元方程F(x,y)0可以确定一个一元隐函数一个三元方程F(x,y,z)0可以确定一个二元隐函数2、隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数且F(x0,y0,Z0)0FzgMz)0贝U方程F(x,y,z)0在点(x°,y0,Z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x,y)它满足条件例2:设x222yz4zzFxzxFzyFyzf(x0,y。
)并有zFx足FyxFzyFz证明；将zf(x,y)代入F(x,y,z)0得F(x,y,f(x,y))0,将上式两端分别对x和y求导得zFxFz—0xFyzFz—0y因为Fz连续且Fz(x0,y0,z)0,所以存在点(x0,y0,z)的一个邻域使Fz0于是得zFx2xxxFz2z42z2(2x)艾(2x)x(x)—zx2z(2x)2x2x2(2z)2(2z)2(2z)3设F(x,y,z)x2y2z24z则Fx22xFy2z4,解:例3：设zz(x,y)是方程xyzez所确定的函数，则xy解：两边求全微分得dx..zdxdydydzedz,所以dz—1,所1ezzze-y/人z\2(1e)(1ze^3e)例4:设(cxaz,cybz)0,其中(u,v)可微，则ax解：由于1d(cxaz)2d(cybz)0,所以dzc1dxc2dy从而,,zz，故a—b—xy二、方程组的情形在一定条件下由个方程组F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0可以确定一对二元函数u(x,y)v(x,y)例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数x-2~xxuyv0x吊yux—u1yy22yx2y2如何根据原方程组求uv的偏导数?隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x°,y°,uo,v°)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数又F(x0,y0,u0,v。
)0G(x0,y0,u0,v0)0且偏导数所组成的函数行列式(F,G)(u,v)FFuvGGuv在点P(x0,y0,&,粉)不等于则方程组F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)P(Xo,yo,Uo,Vo)的某邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数0在点的函数uu(x,y)vv(x,y)v(Xo,yo),并有卫1(F,G)xJ(x,v)_u1(F,G)yJ(y,v)xuyv0设,yuxv1FxFvGxGv.吧v1(F,G)FuFxGuGxFuFvGuGvFyFvGyGvxJ(u,x)v1(F,G)FuGuFuGuFyGyFvgJFuFvGuGv十u求——xyJ(u,y)uvv,,yxyFuGuFvGv它们满足条件u(xo,yo)vo例5:xuyv&0可得1解：由yuxvudxxduyduudyydvxdvvdyvdx0所以xdu0yduydvxdvudxvdyudyvdx解得：du(uxvy)dx(vxuy)dydv(uyvx)dx(uxvy)dy所以—xxuyv~22,xyyuxv~22，xyxvyu-22,xyxuyv~22xy4y21则Fx2x、Fy2y、F(0,1)0Fy(0,1)20.因此2y10在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当。