正定矩阵集上的凹性定理（孝感学院 数学系021113132，湖北 孝感432100）摘 要：本文将数学分析中的凹（凸）函数概念拓广到正定矩阵集上，给出了Minkovski不等式的一种简单证法，进而证明了本文的主要结果：对任意正定矩阵、及，有.关键词：正定矩阵；凹性定理；Minkovski不等式A Concavity Theorem Of PositiveDefinite Matrix SetLU Lan-qiu (Dept.Math.,XiaoGan University 021113132,XiaoGan 432100,HuBei)Abstract:In this paper,we generalize the concave function’s conception of mathematical analysis to the positive definite matrix set,we also give a simple proof of Minkovski inequality,and then prove the major conclusion: For any positive definite matrix 、and，we have .Key words:Positive definite matrix; Concavity theorem;Minkovski inequality.0 引言矩阵的行列式是矩阵中的一个重要概念，它性方程组和矩阵的特征值等方面有相当重要的地位，人们对于有关矩阵的行列式不等式已经得到了一些漂亮的结果，比如Minkovski不等式[1]： （1）本文将给出这个不等式的一种新证法，适用于更广泛的一类矩阵，还有Fanky凹性定： （2）利用不等式的一个重要性质：几何平均值不小于算术平均值，由不等式（1），可得，进一步化为 （3） 对（3）两边取对数，得到 （4）能否将（4）推广到更一般的结果，即若、为正定矩阵，对任意的，是否有 （5）本文将证明这一结论，同时将数学分析中的凹（凸）函数概念进行推广，定义正定矩阵集上的凹（凸）函数，最后考虑了给出正定矩阵集上的凹函数的一些应用．本文将建立关于正定矩阵的几个引理，借助这些结论，用一种较为初等的方法证明正定矩阵的Minkovski不等式，最后证明我们的主要结果，即：定理 对任意正定矩阵、及，有 ． （6）本文用表示实数域，用、分别表示是矩阵的转置和行列式，用表示所有矩阵构成的线性空间．１ 基本概念定义1[3] 设是实对称矩阵，如果对所有非零的，有则称为正定二次型，而称为正定矩阵.实对称矩阵是正定矩阵有多种等价定义形式，几种常见的等价命题是[3]：引理1[3] 设为级实对称矩阵，则下列命题等价：(ⅰ)为正定矩阵；(ⅱ)合同于单位矩阵；(ⅲ)的所有顺序主子式全大于零；(ⅳ)的正惯性指数为；(ⅴ)的的所有特征值全大于零；定义2[4] 设在上有定义，如果对,及0，成立不等式则称是上的凹函数.如果不等号反向，则称是上的凸函数.下面，我们把数学分析的凹（凸）函数概念推广为定义3 设为在一个定义在上的实函数，如果对任意的正定矩阵、及任意，都有 （7）称是正定矩阵集上的凹函数. 如果不等号反向，则称是正定矩阵集上的凸函数.比较根据定义2与定义3可知，正定矩阵集上的凹（凸）函数与通常的凹（凸）函数相比较，它实际上是一种强凹（凸）函数.当是正定矩阵集上的凹（凸）函数时，它一定也是(0,)上的凹（凸）函数，这可以从正定矩阵、都取矩阵，即都取正实数看出；反之，对一般的凹（凸）函数，它们未必一定是正定矩阵集上的凹（凸）函数. 对于，由，可知是上的凹函数，本文的主要结果说明了同时还是是正定矩阵集上的凹函数.定义4[5] 任意，若存在可逆矩阵，使得、同时为(主对角元素为非负实数)的上三角矩阵，则称、为可广义同时(非负)上三角化，当时，则称、可同时(非负)上三角化.根据文献[5]及[6]中的结果，有对，若、满足下列条件之一，则它们可广义同时上三角化：(ⅰ) 或；(ⅱ) 、为正定矩阵；(ⅲ) 的特征根为非负实数；(ⅳ) ,且、的特征根为非负实数２ 引理与定理的证明 为证明主要结果及讨论正定矩阵集上的凹（凸）函数，下面，我们给出一些引论.引理1 设、是实对称阵，是正定阵，则存在实可逆阵，使为对角阵.证明 由于是正定阵，从而合同于，即存在实可逆阵，使,而仍为实对称阵，从而存在正交阵，使 （8）其中是的特征值，令，则，于是，有 （9）注: 利用本证明方法，可以得出正定矩阵的一个重要结果：引理2 设、都是正定矩阵，则存在实可逆阵，使，，这里，.证明 仿照引理1的证明，只需注意到为正定矩阵，引理得证.引理3[7] 对任意正定矩阵、，都有.引理4[5] (赫尔特不等式) 设，，，则证明 当时，不等式显然成立，当或时等式成立；当时，记，则有所以，即得，令则有引理2成立.结合引理[1]、引理[2]、引理[3]，我们给出著名的Minkovski不等式的一个简单证法，即下面的命题：命题（Minkovski不等式）设、是正定矩阵，则证明 由引理2，存在实可逆阵，使 ， （10）因此，有 （11）这里，.对（10）、（11）取行列式，得，，注意到，则得到，于是再由引理3的结论：，故有．命题得证．最后，我们来证明本文的主要结果定理的证明 要证 ，即证 (12)由引理1，可逆矩阵，使得，同理，有 则 即化简为即证由引理4中赫尔特不等式的特例(的情形)：，则有从而，证得.推论1 若、可同时非负上三角化，即存在可逆实矩阵，使得与成立，这里都是非负实数，.则.证明 类似于定理1的方法可证，这里从略.推论2 对，若、满足下列条件之一：(ⅰ) 或；(ⅱ) 、为正定矩阵；(ⅲ) 的特征根为非负实数；(ⅳ) ,且、的特征根为非负实数则.证明 根据文献[5]及[6]中的结果，当、满足上述条件之一时，、可同时非负上三角化，由推论1即得本推论结论成立.致谢：感谢数学系胡付高副教授的悉心指导.参考文献[1] Bellman R. Inepoductonto Matrix Analysis[M].New Youk:McGrawhill,1970.[2] BECKENBAHEF.Inepualities[M].Springer,1961[3] 北京大学数学系.高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2003[4] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)（第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2001[5] 程学翰，王明辉.类矩阵行列式不等式[J].数学研究与评论，2005，25（2）363-368[6] 胡付高.矩阵的弱相似性及其应用[J].信阳师范学院学报（自然科学报），2003，16（1）：4-6[7] Li Guiqing,Hu Fugao,Zheng Mingjun. An elementary proof tobasic inequality[J].孝感学院学报 ，2004，24（3）：55-57[8] 张庆成，张朝风.定矩阵的凹性不等式的推广[J].长春邮电学院学报，1994,12（2）：52-55[9] 谢清明，杨忠鹏.几个行列式不等式在亚正定矩阵上的推广[J].湘潭大学自然科学学报.2000，22（3）：11-15[10] 李衍禧，辛玉忠.亚半正定矩阵的几个行列式不等式[J].烟台师范学院学报（自然科学版）.1998，14（2）：102-105[11] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，200010。