北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章 特殊平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义:两组对边分别平行四边形叫做平行四边形2.平行四边形性质(1)平行四边形对边平行且相等对边)(2)平行四边形相邻角互补,对角相等(对角)(3)平行四边形对角线互相平分对角线)(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线交点惯用点:(1)若始终线过平行四边形两对角线交点,则这条直线被一组对边截下线段中点是对角线交点,并且这条直线二等分此平行四边形面积2)推论:夹在两条平行线间平行线段相等3.平行四边形鉴定(1)定义:两组对边分别平行四边形是平行四边形对边)(2)定理1:两组对边分别相等四边形是平行四边形对边)(3)定理2:一组对边平行且相等四边形是平行四边形对边)(4)定理3:两组对角分别相等四边形是平行四边形对角)(5)定理4:对角线互相平分四边形是平行四边形对角线)4.两条平行线距离两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线距离,叫做这两条平行线距离 注意:平行线间距离处处相等5.平行四边形面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形定义:有一组邻边相等平行四边形叫做菱形2.菱形性质(1)菱形四条边相等,对边平行。
(边)(2)菱形相邻角互补,对角相等对角)(3)菱形对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角对角线)(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线交点(对称中心到菱形四条边距离相等);对称轴有两条,是对角线所在直线3.菱形鉴定(1)定义:有一组邻边相等平行四边形是菱形2)定理1:四边都相等四边形是菱形边)(3)定理2:对角线互相垂直平行四边形是菱形对角线)(4)定理3:对角线垂直且平分四边形是菱形对角线)4.菱形面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积一半三、矩形1.矩形定义:有一种角是直角平行四边形叫做矩形2.矩形性质(1)矩形对边平行且相等对边)(2)矩形四个角都是直角内角)(3)矩形对角线相等且互相平分对角线)(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线交点(对称中心到矩形四个顶点距离相等);对称轴有两条,是对边中点连线所在直线3.矩形鉴定(1)定义:有一种角是直角平行四边形是矩形2)定理1:有三个角是直角四边形是矩形角)(3)定理2:对角线相等平行四边形是矩形对角线)推论:直角三角形斜边上中线等于斜边一半4.矩形面积:S矩形=长×宽=ab四、正方形1.正方形定义:有一组邻边相等,并且有一种角是直角平行四边形叫做正方形。
2.正方形性质(1)正方形四条边都相等,对边平行边)(2)正方形四个角都是直角 (角)(3)正方形两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角(对角线)(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线交点;对称轴有四条,是对角线所在直线和对边中点连线所在直线3.正方形鉴定(1)定义:有一组邻边相等,并且有一种角是直角平行四边形叫做正方形2)定理1:有一组邻边相等矩形是正方形3)定理2:对角线互相垂直矩形是正方形4)定理3:有一种角是直角菱形是正方形5)定理4:对角线相等菱形是正方形6)定理5:对角线垂直且相等平行四边形是正方形鉴定一种四边形是正方形重要根据是定义,途径有两种:(1)先证它是矩形,再证它是菱形2)先证它是菱形,再证它是矩形4.正方形面积:设正方形边长为a,对角线长为b,则五、关于中点四边形问题知识点:(1)顺次连接任意四边形四边中点所得四边形是平行四边形;(2)顺次连接矩形四边中点所得四边形是菱形;(3)顺次连接菱形四边中点所得四边形是矩形;(4)顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是菱形;(5)顺次连接对角线相等四边形四边中点所得四边形是菱形;(6)顺次连接对角线互相垂直四边形四边中点所得四边形是矩形;(7)顺次连接多角线互相垂直且相等四边形四边中点所得四边形是正方形。
第二章 一元二次方程一、一元二次方程1.一元二次方程定义具有一种未知数,并且未知数最高次数是2整式方程叫做一元二次方程2.一元二次方程普通形式ax²+bx+c=0(a≠0),它特性是:等式左边是一种关于未知数x二次多项式,等式右边是零,其中ax²叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项二、一元二次方程解法1.直接开平办法直接开平办法合用于解形如(x+a)²=b一元二次方程当b≥0时,当b＜0时,方程没有实数根2.配办法普通环节:(1)方程ax²+bx+c=0(a≠0)两边同步除以a,将二次项系数化为12)将所得方程常数项移到方程右边3)所得方程两边都加上一次项系数一半平方4)配方,化成(x+a)²=b5)开放,当b≥0时,当b＜0时,方程没有实数根3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程解办法,它是解一元二次方程普通办法一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)求根公式:4.因式分解法一元二次方程一边为0,一边易于分解成两个一次因式乘积时使用此办法三、补充:一元二次方程根鉴别式1.定义:一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根鉴别式。
2.性质:当b²-4ac＞0时,方程有两个不相等实数根;当b²-4ac=0时,方程有两个相等实数根;当b²-4ac＜0时,方程没有实数根四、补充:一元二次方程根与系数关系如果方程ax²+bx+c=0(a≠0)两个实数根是x1,x2,那么第三章 概率进一步结识一、频率与概率含义在实验中,每个对象浮现频繁限度不同,我们称每个对象浮现次数为频数,而每个对象浮现次数与总次数比值为频率,即把刻画事件A发生也许性大小数值,称为事件A发生概率二、 通过实验运用稳定频率来预计某一时间概率1.在进行实验时候,当实验次数很大时,某个事件发生频率稳定在相应概率附近2.我们可以通过多次实验,用一种事件发生频率来预计这一事件发生频率第四章 图形相似一、成比例线段1.定义:(1)线段比:如果选用一种长度单位量得两条线段AB、CD长度分别是m,n,那么这两条线段比就是它们长度比,即AB:CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.(2)成比例线段:四条线段a、b、c、d中,如果a与b比等于c与d比,即a/b=c/d,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段2.定理:如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么(a+c+m)/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截,所得相应线段成比例。
2.平行于三角形一边直线与其她两边相交截得线段成比例三、相似多边形定义:各角分别相等,各边成比例两个多边形叫做相似多边形相似多边形相应边比叫做相似比四、摸索三角形相似条件1.两角分别相等两个三角形相似2.两边成比例且夹角相等两个三角形相似3.三边成比例两个三角形相似4.概念:普通地,点C把线段AB提成两条线段AC和BC,如果AC/AB=BC/AC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB黄金分割点,AC与AB比叫做黄金比五、相似三角形鉴定定理证明鉴定定理1:如果一种三角形两个角与另一种三角形两个角相应相等,那么这两 个三角形相似简述为:两角相应相等,两三角形相似此定理用最多)鉴定定理2:如果一种三角形两条边和另一种三角形两条边相应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似简述为:两边相应成比例且夹角相等,两三角形相似鉴定定理3:如果一种三角形三条边与另一种三角形三条边相应成比例,那么这 两个三角形相似简述为:三边相应成比例,两三角形相似六、运用相似三角形测高1.运用阳光下影子2.运用标杆3.运用镜子反射七、相似三角形性质1.相似三角形相应高比、相应角平分线比、相应中线比等于相似比。
2.相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方八、图形位似定义:普通地,如果两个相似多边形任意一组相应顶点P、P1所在直线都 通过同一种点O,且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样两个多边形叫做位似多边形,点O叫做位似中心事实上,k就是这两个相似多边形相似比第五章 投影与视图一、三视图1.主视图——从正面看到图 左视图——从左面看到图 俯视图——从上面看到图2.画物体三视图时,要符合如下原则:大小:长对正,高平齐,宽相等3.虚实:在画图时,看见某些轮廓普通画成实线,看不见某些轮廓线普通画成虚线二、投影1.物体在光线照射下,会在地面或墙壁上留下它影子,这就是投影现象2.太阳光线可以当作平行光线,像这样光线所形成投影称为平行投影3.在同一时刻,物体高度与影子长度成比例4.物体三视图事实上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面平行光线)下平行投影5.探照灯,手电筒,路灯,和台灯光线可以当作是从一点出发光线,像这样光线所形成投影称为中心投影6.皮影和手影都是在灯光照射下形成影子.它们是中心投影三、视点、视线、盲区定义以及在生活中应用1.眼睛所在位置称为视点,2.由视点发出光线称为视线,3.眼睛看不到地方称为盲区。
第六章 反比例函数一、反比例函数概念普通地如果两个变量x,y之间关系可以表达形式,那么称y是x反比例函数反比例函数解析式也可以写成形式自变量x取值范畴是x0一切实数,函数取值范畴也是一切非零实数)二、反比例函数图象反比例函数图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称由于反比例函数中自变量x0,函数y0,因此,它图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴三、反比例函数性质四、反比例函数解析式拟定拟定反比例函数解析式办法仍是待定系数法由于在反比例函数中,只有一种待定系数,因而只需要一对相应值或图像上一种点坐标,即可求出k值,从而拟定其解析式五、反比例函数中反比例系数几何意义过反比例函数图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴垂线PM,PN,垂足分别是M、N,则所得矩形PMON面积。