江西省景德镇市成考专升本考试2023年高等数学一历年真题汇总及答案学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.设平面π1：2x+y+4z+4=0π1：2x-8y+Z+1=0则平面π1与π2的位置关系是A.A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.平行但不重合 D.重合2.A.2 B.2x C.2y D.2x+2y3. 4.5. 6.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1( )A.为y的极大值点 B.为y的极小值点 C.不为y的极值点 D.是否为y的极值点与a有关7.（）A.B.C.D.8.设函数y=f(x)的导函数，满足f'(-1)=0，当x＜-1时，f'(x)＜0；x＞-1时，f'(x)＞0．则下列结论肯定正确的是( )．A.A.x=-1是驻点，但不是极值点 B.x=-1不是驻点 C.x=-1为极小值点 D.x=-1为极大值点9. 10. A.6xarctanx2B.6xtanx2＋5C.5D.6xcos2x11.A.A.1B.C.mD.m212.力偶对刚体产生哪种运动效应( )A.既能使刚体转动，又能使刚体移动 B.与力产生的运动效应有时候相同，有时不同 C.只能使刚体转动 D.只能使刚体移动13.A.3 B.2 C.1 D.1/214.A.A.2 B.1 C.0 D.-115.A.A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不确定16.下列结论正确的有A.若xo是f(x)的极值点，则x0一定是f(x)的驻点B.若xo是f(x)的极值点，且f’(x0)存在，则f’(x)=0C.若xo是f(x)的驻点，则x0一定是f(xo)的极值点D.若f(xo)，f(x2)分别是f(x)在(a，b)内的极小值与极大值，则必有 f(x1) A.B.C.D.18.设f(x)在点x0处连续，则下面命题正确的是( )A.A.B.C.D.19.设f'(x0)=1,则等于( )．A.A.3 B.2 C.1 D.1/220. 二、填空题(20题)21.22.23.24.25.26.27.级数的收敛区间为______．28.29. 30.过M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程为______．31.32.33.34. 35. 设f(x，y)=x+(y-1)arcsinx，则f'x(x，1)=__________36. 函数f(x)=x2在[-1，1]上满足罗尔定理的ξ=_________37.38. 39. 40.三、计算题(20题)41. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．43.证明：44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．46.47.48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值．49. 50.51.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．52.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?53. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．54.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则55. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．56. 57. 58.59. 求曲线在点(1，3)处的切线方程．60. 求微分方程的通解．四、解答题(10题)61.62.(本题满分8分)63.64. 65.66.67.计算二重积分，其中D是由直线及y=1围成的平面区域．68.求69. 设70. y=xlnx的极值与极值点．五、高等数学(0题)71.判定的敛散性。 六、解答题(0题)72.设函数y=xlnx,求y''.参考答案1.A平面π1的法线向量n1=(2，1，4)，平面π2的法线向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0可知两平面垂直，因此选A2.A3.B4.C5.A解析：6.B本题考查的知识点为一元函数的极值求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B7.A8.C本题考查的知识点为极值的第一充分条件．由f'(-1)=0，可知x=-1为f(x)的驻点，当x＜-1时，f'(x)＜0；当x＞-1时，f'(x)＞1，由极值的第一充分条件可知x=-1为f(x)的极小值点，故应选C．9.B解析：10.C11.D本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小量代换．解法1解法212.A13.B，可知应选B。 14.C15.C16.B17.B18.C本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系．连续性的定义包含三个要素：若f(x)在点x0处连续，则(1)f(x)在点x0处必定有定义；(2)必定存在；(3)由此可知所给命题C正确，A，B不正确．注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可导，可知命题D不正确．故知，应选C．本题常见的错误是选D．这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系．若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必定连续．但是其逆命题不成立．19.B本题考查的知识点为导数的定义．由题设知f'(x0)=1，又由题设条件知可知应选B．20.A解析：21.本题考查的知识点为重要极限公式22.23.24.25.x--arctanx+C本题考查了不定积分的知识点26.27.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．所给级数为不缺项情形．可知收敛半径，因此收敛区间为(-1，1)．注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．28.±1．本题考查的知识点为判定函数的间断点．29.230.本题考查的知识点为直线方程的求解．由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为31.本题考查的知识点为二元函数的偏导数．32.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。 33.34.11 解析：35.136.037.1/2本题考查了对∞-∞型未定式极限的知识点，38.12x12x 解析：39.040.12dx+4dy．本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．41.42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，43.44.由二重积分物理意义知45.46.47.48.49. 由一阶线性微分方程通解公式有50.51.列表：说明52.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％53.54.由等价无穷小量的定义可知55. 函数的定义域为注意56.57.则58.59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为60.61.62.本题考查的知识点为定积分的换元积分法．比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化.63.64.65.积分区域D如下图所示：被积函数f(x,y)=y/x,化为二次积分时对哪个变量皆易于积分;但是区域D易于用X—型不等式表示,因此选择先对y积分,后对x积分的二次积分次序.66.67.所给积分区域D如图5-6所示，如果选择先对y积分后对x积分的二次积分，需要将积分区域划分为几个子区域，如果选择先对x积分后对y积分的二次积分，区域D可以表示为0≤y≤1，Y≤x≤y+1，因此【评析】上述分析通常又是选择积分次序问题的常见方法．68. 69.70.y=xlnx的定义域为x＞0 y'=1+lnx． 令y'=0得驻点x1=e-1． 当0＜x＜e-1时y'＜0；当e-1＜x时y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点． 极小值为y=xlnx的定义域为x＞0 y'=1+lnx． 令y'=0得驻点x1=e-1． 当0＜x＜e-1时，y'＜0；当e-1＜x时，y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点． 极小值为71.72.。
A.B.C.D.18.设f(x)在点x0处连续，则下面命题正确的是( )A.A.B.C.D.19.设f'(x0)=1,则等于( )．A.A.3 B.2 C.1 D.1/220. 二、填空题(20题)21.22.23.24.25.26.27.级数的收敛区间为______．28.29. 30.过M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程为______．31.32.33.34. 35. 设f(x，y)=x+(y-1)arcsinx，则f'x(x，1)=__________36. 函数f(x)=x2在[-1，1]上满足罗尔定理的ξ=_________37.38. 39. 40.三、计算题(20题)41. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．43.证明：44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．46.47.48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值．49. 50.51.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．52.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?53. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．54.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则55. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．56. 57. 58.59. 求曲线在点(1，3)处的切线方程．60. 求微分方程的通解．四、解答题(10题)61.62.(本题满分8分)63.64. 65.66.67.计算二重积分，其中D是由直线及y=1围成的平面区域．68.求69. 设70. y=xlnx的极值与极值点．五、高等数学(0题)71.判定的敛散性。
六、解答题(0题)72.设函数y=xlnx,求y''.参考答案1.A平面π1的法线向量n1=(2，1，4)，平面π2的法线向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0可知两平面垂直，因此选A2.A3.B4.C5.A解析：6.B本题考查的知识点为一元函数的极值求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B7.A8.C本题考查的知识点为极值的第一充分条件．由f'(-1)=0，可知x=-1为f(x)的驻点，当x＜-1时，f'(x)＜0；当x＞-1时，f'(x)＞1，由极值的第一充分条件可知x=-1为f(x)的极小值点，故应选C．9.B解析：10.C11.D本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小量代换．解法1解法212.A13.B，可知应选B。
14.C15.C16.B17.B18.C本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系．连续性的定义包含三个要素：若f(x)在点x0处连续，则(1)f(x)在点x0处必定有定义；(2)必定存在；(3)由此可知所给命题C正确，A，B不正确．注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可导，可知命题D不正确．故知，应选C．本题常见的错误是选D．这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系．若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必定连续．但是其逆命题不成立．19.B本题考查的知识点为导数的定义．由题设知f'(x0)=1，又由题设条件知可知应选B．20.A解析：21.本题考查的知识点为重要极限公式22.23.24.25.x--arctanx+C本题考查了不定积分的知识点26.27.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．所给级数为不缺项情形．可知收敛半径，因此收敛区间为(-1，1)．注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．28.±1．本题考查的知识点为判定函数的间断点．29.230.本题考查的知识点为直线方程的求解．由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为31.本题考查的知识点为二元函数的偏导数．32.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。
33.34.11 解析：35.136.037.1/2本题考查了对∞-∞型未定式极限的知识点，38.12x12x 解析：39.040.12dx+4dy．本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．41.42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，43.44.由二重积分物理意义知45.46.47.48.49. 由一阶线性微分方程通解公式有50.51.列表：说明52.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％53.54.由等价无穷小量的定义可知55. 函数的定义域为注意56.57.则58.59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为60.61.62.本题考查的知识点为定积分的换元积分法．比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化.63.64.65.积分区域D如下图所示：被积函数f(x,y)=y/x,化为二次积分时对哪个变量皆易于积分;但是区域D易于用X—型不等式表示,因此选择先对y积分,后对x积分的二次积分次序.66.67.所给积分区域D如图5-6所示，如果选择先对y积分后对x积分的二次积分，需要将积分区域划分为几个子区域，如果选择先对x积分后对y积分的二次积分，区域D可以表示为0≤y≤1，Y≤x≤y+1，因此【评析】上述分析通常又是选择积分次序问题的常见方法．68. 69.70.y=xlnx的定义域为x＞0 y'=1+lnx． 令y'=0得驻点x1=e-1． 当0＜x＜e-1时y'＜0；当e-1＜x时y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点． 极小值为y=xlnx的定义域为x＞0 y'=1+lnx． 令y'=0得驻点x1=e-1． 当0＜x＜e-1时，y'＜0；当e-1＜x时，y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点． 极小值为71.72.。
