2024 年高考诊断性测试年高考诊断性测试 数学数学 注意事项：注意事项：1.本试题满分本试题满分 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区超出答题区书写的答案无效；在草稿纸书写的答案无效；在草稿纸试题卷上答题无效试题卷上答题无效.一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求题目要求.1.已知集合RU=，集合2230,02Ax xxBxx=+=，则图中阴影部分表示的集合为（）A.()3,0 B.()1,0 C.()0,1 D.()2,3 2.若5250125(1 2)xaa xa xa x=+L，则24aa+=（）A.100 B.110 C.120 D.130 3.若点()1,2A在抛物线22ypx=上，F为抛物线的焦点，则AF=（）A.1 B.2 C.3 D.4 4.若1cos43=，则sin2=（）A.59 B.59 C.79 D.79 5.将 8 个大小形状完全相同的小球放入 3 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放 2 个小球，则不同放法的种数为（）A.3 B.6 C.10 D.15 6.设,a b为两条不同的直线，,为两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若a,b，则ab B.若,a b与所成的角相等，则ab C.若,a,b，则ab D.若,ab，则ab 7.已知定义在R上的奇函数()fx满足()()2fxf x=，当01x时，()21xf x=，则()2log 12f=（）A.13 B.14 C.13 D.12 8.在平面直角坐标系xOy中，点()()1,0,2,3AB，向量OCmOAnOB=+uuu ruuu ruuu r，且40mn=.若P为椭圆2217yx+=上一点，则PCuuu r的最小值为（）A.4105 B.10 C.8105 D.2 10 二二多选题多选题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知12,z z为复数，下列结论正确的有（）A.1212zzzz+=+B.1212zzzz=C.若12zzR，则12zz=D.若120zz=，则10z=或20z=10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y，设事件A=“(1)logxy+为整数”，B=“xy+为偶数”，C=“2xy+为奇数”，则（）A.()16P A=B.()112P AB=C.事件B与事件C相互独立 D.()718P A C=11.给定数列 na，定义差分运算：2*11,nnnnnnaaaaaa nN+=.若数列 na满足2nann=+，数列 nb的首项为 1，且()1*22,nnbnnN=+，则（）A.存在0M，使得naM恒成立 B.存在0M，使得2naM恒成立 C.对任意0M，总存在*nN，使得nbM D.对任意0M，总存在*nN，使得2nnbMb 三三填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.若圆22()(1)1xmy+=关于直线yx=对称的圆恰好过点()0,4，则实数m的值为_.13.在三棱锥PABC中，22PBPCPA=，且,APBBPCCPA E F=分别是,PC AC的中点，90BEF=o，则三棱锥PABC外接球的表面积为_，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为_.（本小题第一空 2 分，第二空 3 分.）14.若函数()sin3cos1f xxx=+在0,2上佮有 5 个零点，且在,4 15上单调递增，则正实数的取值范围为_.四四解答题解答题：本本题共题共 5 小题，共小题，共 77 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（13 分）已如曲线()()22ln,f xaxxxb a b=+R在2x=处的切线与直线210 xy+=垂直.（1）求a的值：（2）若()0f x 恒成立，求b的取值范围.16.（15 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，,33,2ABAC ABACADDB=，O为BC的中点，1AO 平面ABC.（1）求证：1AAOD；（2）若12 3AA=，求二面角1BAAO的余弦值.17.（15 分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在 2024 年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答抢答两个环节依次进行.必答环节，共 2 道题，答对分别记 30 分40 分，否则记 0 分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得 15 分，抢到后未答对，对方得 15 分：两个环节总分先达到或超过 100 分者获胜，比赛结束.已知甲乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别4 1,5 3，乙答对两道题的概率分别为2 1,3 2，在抢答环节，任意一题甲乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲乙两人在各环节各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲乙两人得分之和大于 100 分的概率：（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得 15 分的概率：（3）若在必答环节甲得分为 70 分，乙得分为 40 分，设抢答环节经过 X 道题抢答后比赛结束，求随机变量 X的分布列及数学期望.18.（17 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=经过点()2,0A，离心率为5，直线l过点()3,0D且与双曲线C交于两点,P Q（异于点A）.（1）求证：直线AP与直线AQ的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D分别作直线,AP AQ的垂线.垂足分别为,M N，记,ADMADNVV的面积分别为12,S S，求12SS的最大值.19.（17 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为 1 的圆A沿着x轴正向无滑动地滚动，点M为圆A上一个定点，其初始位置为原点,O t为AM绕点A转过的角度（单位：弧度，0t）.（1）用t表示点M的横坐标x和纵坐标y：（2）设点M的轨迹在点()()0000,0Mxyy 处的切线存在，且倾斜角为，求证：01cos2y+为定值：（3）若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为()()(),x ty tt，则该光滑曲线长度为()()FF，其中函数()F t满足()()()22F tx ty t=+.当点M自点O滚动到点E时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE的长度.2024 年高考诊断性测试 数学参考答案及评分标准 一一、选择题选择题 A C B C B D A A 二、选择题二、选择题 9.ABD 10.BCD 11.BC 三三、填空题填空题 12.4 13.10,5102+14.9 5,4 2 四四、解答题解答题 15.解：（1）xaxxf212)(+=,2 分 直线210 xy+=的斜率21=k,由题意知2)2(=f，4 分 即2114=+a，所以21=a.5 分（2）)(xf的定义域为)0(+，.6 分 因为()0f x，所以xxxbln2212+.设),0(,ln221)(2+=xxxxxg，则max()bg x.8 分 xxxxxxxxxg)2)(1(221)(2+=+=+=9 分 当)1,0(x时，0)(xg，所以)(xg在)1,0(单调递增，当),1(+x时，0)(xg，所以)(xg在),1(+单调递减，11 分 所以max3()(1)2g xg=.所以23b.13 分 16.解：（1）因为ABAC，33ABAC=，所以60ACB=，132OABC=.1 分 因为3AB=，2ADDB=，所以1DB=.在DBO中，30DBO=，1DB=，3OB=，由余弦定理2221(3)2 13 cos301OD=+=，所以1OD=.3 分 在ADO中，1OD=，2AD=，3AO=，由勾股定理，AOOD.4 分 因为1AO 平面ABC，OD 平面ABC，所以1AOOD.5 分 因为1AOAOO=，所以OD 平面1AOA.6 分 因为1AA 平面1AOA，所以1AAOD；7 分（2）由（1）可知，1,OA OD OA两两垂直，以O为坐标原点，1,OA OD OA方向分别为,x y z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.8 分 因为12 3AA=，3AO=，所以13AO=.9 分 则(3,0,0)A，1(0,0,3)A，3 3(,0)22B.10 分 可得133(,3)22BA=，3 33(,0)22BA=，设(,)x y z=m为平面1ABA的一个法向量，则3330223 33022xyzxy+=，取3x=，则3y=，1z=，故(3,3,1)=m，12 分 由题意可知，(0,1,0)=n为平面1AOA的一个法向量，13 分 因为33 13cos,|1313=m nm nm n，所以二面角1BAAO的余弦值为3 1313.15 分 17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得 40 分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率 112141114121753325332533245p=+=.4 分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p=+=.7 分（3）X的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23.8 分 211(2)()39P X=，121214(3)33327P XC=，1243121228(4)()()333381P XC=+=，13334412121232(5)()()33333381P XCC=+=.12 分 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 19 427 2881 3281 13 分 所以142832326()2345927818181E X=+=.15 分 18.解：（1）由题意知，2a=，5ca=，又因为222=+cab，2 分 解得4=b.所以，双曲线C的方程为221416xy=.3 分 设直线l的方程为3xmy=+，联立2214163xyxmy=+，消x可得，22(41)24200mymy+=.4 分 不妨设1122(,),(,)P x yQ xy，则12m ，且1222441myym+=，1222041y ym=.5 分 所以12122121212225()25APAQyyy ykkxxm y ym yy=+7 分 45=.9 分（2）设直线AP的方程为(2)yk x=+，则直线1:(3)DMyxk=，联立(2)1(3)yk xyxk=+=，解得251Mkyk=+，11 分 用45k替换上式中的k可得21002516Nkyk=+.13 分 故21222253125|4(1)(2516)MNkSSy ykk=+15 分 223125162541kk=+.因为22221616252 2540kkkk+=，当且仅当2 55k=时，“=”成立，所以12312581S S，故12S S的最大值为312581.17 分 19.解：（1）由题意可得1 cosyt=，|OBBMt=，所以|sinsinxOBttt=，2 分 所以sinxtt=，1 cosyt=.4 分（2）证明：由复合函数求导公式txtyyx=，所以sin1 cosxttxttyxytyxxt=.7 分 所以sintan1 costt=，因为222222cos21cos22cos。